Definisi, Aksioma, Postulat, Dalil, Lemma, Corollary, dan Teorema

Apa yang dimaksud tentang :

a. Definisi

Definisi merupakan sebuah pernyataan yang dibuat dengan menggunakan konsep yang tak terdefinisi atau konsep yang telah terdefinisi sebelumnya. Konsep yang tak terdefinisi didalam geometri misalnya adalah titik, garis, bidang dan ruang.

Sedangkan Definisi misalnya adalah definisi Sinar. Di dalam geometri kita mengenal sinar, dan definisi sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan suatu titik tetap dan titik-titik yang sepihak terhadap titik tetap itu.

b. Aksioma

Aksioma adalah sebuah pernyataan dimana pernyataan yang kita terima sebagai suatu kebenaran dan bersifat umum, serta tanpa perlu adanya pembuktian dari kita. Bisa juga dikatakan adalah sebuah ketentuan yang pasti atau mutlak kebenarannya.

Untuk Aksioma misalnya seperti "Garis adalah himpunan titik-titik yang memuat paling sedikit dua titik", dan "Dua titik yang berlainan termuat dalam tepat satu garis".

Aksioma adalah proposisi yang di asumsikan benar , sehingga suatu pernyataan yang dapat dilihat kebenarannya dan bersifat umum tanpa perlu ada bukti .

Contoh aksioma :

1) untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan )

2) jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang .

Misalnya adalah di dalam Geometri Insidensi telah disepakati ada 6 pernyataan yang menjadi acuan dan dikenal sebagai 6 aksioma Insidensi, dan berbeda lagi dengan Geometri Euclid.

Misalnya seperti aksioma diatas, "Garis adalah himpunan titik-titik yang memuat paling sedikit dua titik" dan ini merupakan salah satu dari 6 aksioma Insidensi dalam Geometri.

Ada 6 buah Aksioma Insidensi :
I1. Garis adalah himpunan dari titik-titik, yang mengandung paling sedikit dua buah titik.
I2. Dua titik yang berbeda terdapat dalam satu dan hanya satu garis.
I3. Bidang adalah himpunan titik-titik, yang mengandung paling sedikit tiga titik, dimana ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama.
I4. Tiga titik yang berbeda, yang tidak segaris terletak dalam satu dan hanya satu bidang.
I5. Apabila sebuah bidang memuat dua titik yang berbeda dari suatu garis, bidang tersebut akan memuat semua titik pada garis tersebut.
I6. Apabila dua buah bidang bersekutu pada satu titik, maka kedua bidang akan bersekutu pada titik kedua yang merupakan titik perpotongan lainnya.

c. Postulat

Postulat adalah sebuah pernyataan matematika yang disepakati benar tanpa perlu adanya pembuktian. Sebagian orang mengatakan Postulat = Aksioma sehingga mereka dapat dipertukarkan, karena di dalam suatu materi terkadang telah ditentukan pernyataan yang telah disepakati kebenarannya, sehingga disebut Aksioma.

Postulat adalah suatu anggapan yang dipandang jelas dengan sendirinya, pernyataan matematika yang disepakati benar sehingga tak perlu dibuktikan dan dapat digunakan sebagai premis dan deduksi.

Contoh postulat :

“postulat geometri dengan mistar dan jangka”

1) Dapat dilukis garis lurus dari suatu titik ke titik yang lain

2) Dapat dihasilkan garis lurus terhingga dengan sembarang panjang

d. Dalil

Dalil atau teorema adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma, suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian dan pernyataan itu dapat ditunjukkan bernilai benar. Teorema atau dalil ini dapat dibuktikan menggunakan alasan matematika yang tepat berdasarkan aturan dan tata cara yang masuk akal.

Contoh Dalil : "Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar"

e. Lemma

Lemma adalah suatu teorema sederhana yang mana dipergunakan sebagai hasil-antara dalam pembuktian teorema yang lain.

Lemma adalah suatu pernyataan matematis didalam pembuktian suatu teorema. Lemma juga merupakan teorema sederhana yang digunakan sebagai batu pijakan untuk pembuktian dalam teorema lain. Lemma juga digunakan untuk mengacu kepada sebuah pernyataan yang digunakan sebagai bagian untuk membuktikan sebuah teorema yang lebih besar. jadi Lemma merupakan alat bantu untuk membuktikan suatu teorema .

Contoh lemma : "Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n-1 bilangan positif atau n-1 = 0"

f. Corollary

Untuk Corolarry adalah sebuah proposisi yang mana secara langsung diperoleh dari suatu teorema yang sudah kita buktikan sebelumnya.

Contoh corollary : "Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut". Carolarry ini mengikuti contoh dalil bagian (d) diatas.

g. Teorema

Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian dan pernyataannya dapat ditunjukkan nilai kebenarannya atau bernilai benar.

Misalnya adalah "Jika dua sudut masing-masing sudut siku-siku maka kedua sudut itu kongruen", dan "Jika dua sudut masing-masing bersuplemen dengan suatu sudut (yang sama) maka mereka kongruen".