SOAL GEOMETRI

Tahukah Anda bahwa geometri adalah cabang matematika pertama yang ditemukan manusia?

Geometri digunakan dalam ilmu untuk mengukur luasan wilayah tanah kala itu. Luas wilayah tentunya berbentuk bidang datar. Misalkan segi empat, segitiga dan sebagainya.

Ngomong-ngomong segitiga, kali ini saya Ada soal geometri untuk Anda. Coba selesaikan jika bisa.

Kalau tidak bisa ya biarkan saja, nanti juga saya yang kasih tahu jawabannya di postingan saya kali ini.hehee

SOAL

Tentukan nilai x pada segitiga △ABC di bawah ini!

Sederhana bukan soalnya, hanya mencari nilai x saja atau besar sudut m∠DEA. wkwk

PEMBAHASAN

Sebelum Anda melangkah jauh menyelesaikan soal di atas, saya ingatkan lagi beberapa sifat yang dimiliki di dalam geometri Euclid suatu segitiga

Sifat 1. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180
Sifat 2. Besar sudut alas segitiga sama kaki adalah sama
Sifat 3. Besar ketiga sudut sama sisi adalah sama
Sifat 4. Aturan Sinus; asinA=bsinB=csinC

CARA I (TRIGONOMETRI)
Perhatikan segitiga △ABD. Karena besar sudut m∠ABD = 60 dan m∠BAD = 80 maka besar sudut m∠ADB = 40.

Berdasarkan aturan sinus pada trigonometri didapatkan

BDsin80BDBD=====ABsin40AB⋅sin80sin40AB(2sin40cos40)sin402⋅AB⋅cos402⋅AB⋅sin50

Selanjutnya perhatikan segitiga △ABE. Besar sudut m∠AEB = 30 diperoleh dari 30 = 180−(m∠BAE + m∠ABE) = 180−(70+80) = 180−150.
Menggunakan aturan sinus lagi pada segitiga △ABE didapatkan

EBsin70EBEB===ABsin30AB⋅sin70122⋅AB⋅sin70

Misalkan perpotongan sisi AE¯¯¯¯¯¯¯¯ dan BD¯¯¯¯¯¯¯¯ adalah F.

Pada segitiga △ABF besar sudut m∠AFB = 50 karena sudut yang lain besarnya adalah 70 dan 60. Demikian juga besar sudut m∠DFE = 50 karena bertolak belakang dengan sudut m∠AFB.

Akibatnya besar sudut m∠FDE = 130 - x karena jumlah sudut segitiga 180.

Berikutnya perhatikan segitiga △BDE dan terapkan aturan sinus lagi sehingga diperoleh

EBsin(130−x)EBBD2⋅AB⋅sin702⋅AB⋅sin50sin70sin50sin70⋅sin(30+x)−12[cos(100+x)−cos(40−x)]cos(40−x)x2x360n−40∴   x===========BDsin(30+x)sin(130−x)sin(30+x)sin(180−(130−x))sin(30+x)sin50+xsin(30+x)sin50⋅sin(50+x)−12[cos(100+x)−cosx]cosx(40−x)±360n   (n∈Z)40+360n   atau0   (TM)20+180n

Karena jumlah sudut segitiga △DFE adalah 180 maka
0 < x < 130. Oleh karena itu nilai x = 20.

Penyelesaian dengan pendekatan trigonometri ini memiliki keuntungan -di samping cara terpendek yang bisa dilakukan- yaitu tidak perlu lagi menambahkan garis di gambar sehingga gambar terihat bersih.😆

Namun cara ini, ada yang mengatakan terlihat kurang elegan.

Waduhh..bisa menyelesaikan saja sudah syukur pak. Itupun sudah ngos-ngosan. 😅

Terdapat cara lain untuk menyelesaikan problem tersebut. Pendekatan murni geometri dalam hal ini yang dimaksud.

CARA II (GEOMETRI)
Menyelesaikan soal tersebut dapat dilakukan dengan pendekatan geometri murni.

Metode yang dilakukan adalah dengan mencari atau menkonstruksi segitiga sama kaki dan mendapatkan segitiga sama sisi beserta garis sejajar.

Mari langkahkan kaki Anda ke tahap pertama

Tarik garis bagi sudut ∠ACB yaitu CP sedemikian sehingga P di ruas garis BD¯¯¯¯¯¯. Selanjutnya tarik ruas garis AP¯¯¯¯¯¯¯¯.

Perhatikan segitiga △ACP dan △BCP.

CP¯¯¯¯¯¯¯¯∠ACPAC¯¯¯¯¯¯¯¯≅≅≅CP¯¯¯¯¯¯¯¯       ⋯(refleksif)∠ACP       ⋯(CP¯¯¯¯¯¯¯¯garis bagi)BC¯¯¯¯¯¯¯¯       ⋯(m∠CAB=m∠CBA)

Oleh karena itu berdasarkan sifat S-Sd-S pada kekongruenan maka △ACP≅△BCP.

Akibatnya m∠CAP=m∠CBP=20 sehingga

m∠EAPm∠PABm∠APB=20−10=10=70−10=60=180−60−60=60

Jadi segitiga △APB merupakan segitiga sama sisi. Misalkan sisi segitiga △APB adalah AP=PB=AB=m.

Perhatikan segitiga △ACE dan △CBP

m∠CAEm∠ACEAE=m∠BCP=10=m∠CBP=20=EB

Jadi berdasarkan sifat Sd-S-Sd pada kekongruenan maka terbukti bahwa △ACE≅△CBP sehingga CE=PB=m.

Langkah berikutnya perpanjang AP¯¯¯¯¯¯¯¯ sehingga memotong sisi BC¯¯¯¯¯¯¯¯ di titik Q. Kemudian bentuk DQ¯¯¯¯¯¯¯¯.

m∠DPQ=m∠APB=60 karena sudut yang bertolak belakang.

Perhatikan segitiga △DAB dan △QBA

m∠DABABm∠DBA=m∠QBA      ⋯(diketahui)=BA      ⋯(refleksif)=m∠QAB      ⋯(diperoleh)

Jadi berdasarkan sifat Sd-S-Sd pada kekongruenan segitiga diperoleh △DAB≅△QBA sehingga DB=QA=n.

Perhatikan panjang sisi yang sama dan dimisalkan n dan m di atas.

DP=DB−PB=n−m=QA−PA=QP. Akibatnya segitiga △DPQ segitiga sama kaki.

Karena △DPQ segitiga sama kaki, maka m∠PDQ=m∠PQD=180−m∠DPQ2 = 180−602 = 60. Oleh karena itu segitiga △DPQ merupakan segitiga sama sisi.

Jadi panjang sisi DQ=QP=DP=n−m karena segitiga △DPQ sama sisi.

Selanjutnya, diperoleh bahwa m∠PQD=m∠QAB=60 sehingga ruas garis DQ¯¯¯¯¯¯¯¯ sejajar dengan AB¯¯¯¯¯¯¯¯, yaitu sudut ∠PQD dan sudut ∠QAB sudut bersebrangan dalam.

Masih di dalam dua ruas garis yang sejajar, yaitu DQ¯¯¯¯¯¯¯¯∥AB¯¯¯¯¯¯¯¯, sudut ∠CQD dan  sudut ∠CBA sehadap sehingga m∠CQD=m∠CBA=80.

Perhatikan segitiga △CDQ. Besar sudut ∠CDQ adalah m∠CDQ=180−20−80=20.

Disisi lain karena m∠DCB=m∠DBC=20 maka △BCD sama kaki dengan CD=BD=n.

Jadi panjang sisi EQ=CQ−CE=n−m=DQ karena segitiga △DQE sama kaki. Akibatnya ma∠QED=m∠QDE.

Adapun panjang sudut tersebut adalah m∠QED=180−8020=50.

Oleh karena itu besar sudut m∠AED=50−30=20