PENGEMBANGAN RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, dan u‟(x) dan v‟(x) adalah turunannya, maka kita dapat menurunkan rumus turunan hasil kali, hasil bagi dua fungsi dan pemangkatan fungsi, yakni sebagai berikut:

PERMUTASI MENYUSUN BILANGAN

Contoh soal pembahasan pencacahan permutasi dalam penyusunan bilangan dari angka-angka matematika kelas 11 SMA IPA, IPS juga bisa.

ATURAN DASAR TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Turunan dari fungsi kontinu y = f(x) merupakan laju perubahan nilai y terhadap nilai x.
Jika perubahan nilai x tersebut sebesar h, maka kita dapat menuliskan :

sebagai hasil dari perubahan tersebut (seperti gambar dibawah ini).

TEOREMA LIMIT

Teorema Limit

Untuk a, c dan n adalah bilangan real serta f(x) dan g(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada real maka berlaku teorema limit:

TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR PADA SUKU BANYAK (POLINOMIAL)

Dua teorema yang tidak boleh ditinggalkan untuk dipelajari pada materi suku banyak (polinomial) adalah teorema sisa dan teorema faktor. Kedua teorema ini akan sangat membantu sobat idschool menyelesaikan variasi soal pada teorema sisa dan teorema faktor pada suku banyak (polinomial). Materi teorema sisa dan teorema faktor masih berhubungan erat dengan pembahasan materi pembagian suku banyak. Pada proses pembagian suku banyak, sobat idschool dapat mengetahui hasil bagi dan sisa hasil bagi dari suatu suku banyak. Dengan menggunakan teorema sisa, sobat idschool dapat mengetahui sisa hasil bagi secara langsung tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.

PERNYATAAN MAJEMUK (KONJUNGSI DAN DISJUNGSI)

Pernyataan majemuk adalah dua pernyataan atau lebih yang digabungkan menjadi satu, dengan aturan tertentu. Aturan tersebut dalam logika matematika dapat dikelompokkan menjadi empat macam, yaitu

1. Aturan Konjungsi                     2. Aturan Disjungsi
3. Atuan Implikasi                        4. Aturan Biimpliksi

Berikut ini akan diuraikan dengan lebih lengkap aturan-aturan tesebut.

PERNYATAAN MAJEMUK (IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI)

(3) Implikasi
Implikasi adalah kalimat majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk: “jika p maka q” ditulis “p→q” Dalam bahasa lain ditulis :
“q jika p”
“p syarat cukup untuk q”
“q syarat perlu agar p”

LIMIT FUNGSI ALJABAR

Misalkan diketahui sebuah fungsi

Grafik untuk fungsi tersebut dapat dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

NOTASI SIGMA

Notasi sigma merupakan bentuk penulisan dari penjumlahan suku-suku U(1) + U(2) + U(3) + U(4) + ... + U(n), dimana suku-suku tersebut diatur menurut pola tertentu. Sehingga bentuk umum dari notasi sigma adalah :

Dimana : p : Batas Bawah
q : Batas Atas
U(n) : Suku ke-n

TEOREMA FAKTOR

Secara umum teorema faktor berbunyi: “Jika G(x) adalah faktor dari polinom F(x), maka F(x) dibagi G(x) mendapatkan sisa nol,

Secara khusus jika (x – k) adalah faktor linier dari polinom F(x) maka F(k) = 0. dan x = k adalah salah satu akar akar persamaan F(x) = 0

APLIKASI BARISAN DAN DERET

Salah satu apliksai barisan dan deret pada bidang ekonomi adalah pada perhitungan bunga pada simpanan uang di bank atau koperasi atau lembaga lain sejenisnya. Terdapat dua macam jenis bunga pada simpanan, yaitu :

(1) Bunga Tunggal (Barisan Aritmatika)
Yaitu metoda pemberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok pinjaman atau modal awal simpanan saja.
Rumus bunga tunggal:

TEOREMA SISA

Disamping menggunakan metoda bersusun dan skema Horner, sisa pembagian polinom dapat juga dicari dengan teorema sisa. Secara umum teorema sisa diambil dari teorema umum pembagian, yakni:

Yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Namun secara khusus teorema sisa dibagi atas beberapa bagian sesuai dengan karasteristik pembaginya, yaitu :

BARISAN DAN DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Barisan geometri tak hingga adalah suatu barisan geometri yang mempunyai tak hingga banyaknya suku-suku. Barisan geometri tak hingga dikatakan konvergen jika suku ke tak hingga dari barisan itu menuju ke suatu nilai tertentu. Syaratnya jika nilai rasio terletak antara -1 dan 1.
Deret geometri tak hingga yang konvergen ini dapat ditentukan jumlahnya, dengan aturan sebagai berikut :
Jika -1< r < 1 maka jumlah sampai takhingga suku-sukunya (n = ∞) diperoleh:

OPERASI PEMBAGIAN PADA POLINOMIAL

Pembagian polinom pada prinsipnya bersesuaian dengan pembagian pada bilangan. Sebagai contoh akan kita lakukan pembagian 623 dengan 3 sebagai berikut:

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Jika U1 , U2 , U3 , U4 , … , Un adalah suku-suku dari suatu barisan, dimana nilai perbandingan

Sehingga :
(1) 2, 4, 8, 16, 32, 64, … adalah barisan geometri dengan rasio 2
(2) 96, 48, 24, 12, 6, … adalah barisan geometri dengan rasio 1/2
(3) 1 +5 + 25 + 125 + 625 + … adalah deret geometri dengan rasio 5
(4) 1– 3 + 9 – 27 + 81 – 243 + … adalah deret geometri dengan rasio –3

OPERASI PENJUMLAHAN, PENGURANGAN dan PERKALIAN PADA POLINOM

Operasi aljabar pada polinom meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Namun karena operasi pembagian polinom memerlukan kajian yang lebih mendalam, maka pembagian akan diuraikan pada bagian tersendiri setelah ini.

Operasi penjumlahan dan pengurangan polinom dilakukan dengan cara menjumlah/mengurang koefisien suku-suku yang mempunyai variabel dengan pangkat yang sama. Sedangkan operasi perkalian suku banyak dilakukan dengan cara mengalikan semua suku-suku secara bergantian.

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Barisan adalah kumpulan objek-obejek yang disusun menurut pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut sampai n suku dinamakan deret.
Barisan aritmatika adalah suatu barisan angka-angka dimana U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – Un–1 = beda (merupakan angka yang tetap)
Sehingga :
(1) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 adalah barisan aritmatika dengan beda 4
(2) 63, 58, 53, 48, … , 3 adalah barisan aritmatika dengan beda -5
(3) 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + 50 adalah deret aritmatika dengan beda 3
(4) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + … adalah deret aritmatika tak hingga dengan beda 2

PENGERTIAN POLINOMIAL DAN NILAI POLINOMIAL

Bentuk umum polinom adalah anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 , n ≠ 0

Polinom tersebut dikatakan polinom berderajat n, dimana n adalah pangkat tertinggi dari polinom

Sebagai contoh diberikan polinom 5x⁴ + 2x³ – 6x² + 8x – 7, maka polinom tersebut dinamakan polinom berderajat 4

Koefisien adalah angka-angka didepan variabel , sehingga angka 5, 2, -6 dan 8 berturut-turut adalah
koefisien suku ke 1, 2, 3 dan 4. Sedangkan -7 dinamakan konstanta.

POLA BILANGAN SEBAGAI BARISAN DAN DERET

Jika Un adalah suku ke n dari suatu pola bilangan, maka U1 , U2 , U3 , U4 ,… , Un dinamakan barisan bilangan dan U1 + U2 + U3 + U4 +… + Un = Sn dinamakan deret bilangan.
Terdapat beberapa barisan bilangan yang khusus, karena memiliki pola dan rumus tersediri, yakni :

Menyelesaikan Persamaan Matriks

Salah satu diantara penggunaan invers matriks adalah untuk menyelesaikan persamaan matriks. Ada dua macam rumus dasar menyelesaikan persamaan matriks, yaitu :

(1) Jika A x B = C maka B =A^-1 x C

(2) Jika A x B = C maka A = C x A^-1

Untuk lebih memahami rumus diatas, ikutilah contoh soal berikut ini :