PERNYATAAN MAJEMUK (IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI)

(3) Implikasi
Implikasi adalah kalimat majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk: “jika p maka q” ditulis “p→q” Dalam bahasa lain ditulis :
“q jika p”
“p syarat cukup untuk q”
“q syarat perlu agar p”
Dimana p dinamakan sebab kejadian (anteseden) dan q dinamakan akibat kejadian (konsekwen)
Tabel kebenaran untuk implikasi dapat dilihat pada gambar di bawah ini

Dari tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa implikasi dari jika p maka q akan bernilai salah jika p benar dan q salah. Selain itu implikasi akan bernilai benar

Untuk lebih jelasnya pelajarilah contoh soal berikut ini
04. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap implikasi berikut ini :
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4
(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil

Jawab
(a) Jika kambing berkaki dua maka kerbau berkaki empat
Misalkan
p : “Kambing berkaki dua” (salah)
q : “Kerbau berkaki empat (Benar)
Maka : p → q ≡ S → B ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai benar

(b) Jika 3 faktor dari 12 maka 12 habis dibagi 5
Misalkan
p : “3 faktor dari 12” (Benar)
q : “12 habis dibagi 5 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Salah

(c) Jika x habis dibagi 3 maka x habis pula dibagi 6
Ambil x = 9 sehingga pernyataan di atas berbunyi :
”Jika 9 habis dibagi 3 maka 9 habis pula dibagi 6
Misalkan
p : “9 habis dibagi 3” (Benar)
q : “9 habis dibagi 6 (Salah)
Maka : p → q ≡ B → S ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai Salah

(d) Jika x bilangan ganjil maka x tidak habis dibagi 4.
Karena semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 4 maka pernyataan tersebut bernilai benar

(e) Jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap maka a + b bilangan ganjil
Karena jumlah bilangan ganjil dan genap selalu menghasilkan bilangan ganjil, maka pernyataan di atas benilai benar

05. Tentukanlah nilai x agar implikasi berikut ini bernilai benar
(a) Jika 2x – 6 = 8 maka 3x + 5 = 2
(b) Jika x² – 9 = 0 maka x² – 5x + 6 = 0
(c) Jika 2x – 3 = 5 maka Surabaya ibukota Jawa Timur
(d) Jika 4x + 5 = 17 maka ayam binatang berkaki empat

Jawab
(a) p : “2x – 6 = 8”
p : “2x = 14”
p : “x = 7” Benar jika x = 7
q : “3x + 5 = 2”
q : “3x = –3”
q : “x = –1” Benar jika x = –1
Jadi supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ 7 dan x bilangan real

(b) p : “x² – 9 = 0”
p : “(x – 3)(x + 3) = 0” Benar jika x = –3 dan x = 3
q : “x² – 5x + 6 = 0”
q : “(x – 6)(x - 3) = 0” Benar jika x = 3 dan x = 6
Jadi supaya p → q bernilai benar haruslah x ≠ –3 dan x bilangan real

(c) p : “2x – 3 = 5”
p : “2x = 8”
p : “x = 4” Benar jika x = 4
q : “Surabaya ibukota Jawa Timur” (Pernyataan benar)
Jadi p → q bernilai benar untuk semua x bilangan real

(d) p : “4x + 5 = 17”
p : “4x = 12”
p : “x = 3” Benar jika x = 4
q : “ayam binatang berkaki empat” (Pernyataan salah)
Jadi p → q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 4

(4) Biimplikasi
Biimplikasi adalah kalimat majemuk yang disusun dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” ditulis “p↔q” .
Dalam hal ini, p dan q keduanya dapat dianggap anteseden dan dapat dianggap konsekwen
Tabel kebenaran untuk Biimplikasi dapat dilihat pada gambar di bawah ini

Dari tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa biimplikasi dari p jika dan hanya jika q akan bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai sama. Selain itu implikasi akan bernilai salah

Untuk lebih jelasnya pelajarilah contoh soal berikut ini

06. Tentukanlah nilai kebenaran dari setiap biimplikasi berikut ini :
(a) Soeharto adalah presiden RI pertama jika dan hanya jika danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
(b) 15 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 15 tidak habis dibagi 2
(c) x adalah bilangan prima jika dan hanya jika x tidak habis dibagi 6
(d) x lebih dari 6 jika dan hanya x lebihdari 3
(e) ABC adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang

Jawab
(a) Soeharto adalah presiden RI pertama jika dan hanya jika danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat
Misalkan
p : “Soeharto adalah presiden RI pertama” (salah)
q : “danau Toba terletak di provinsi Sumatera Barat (Salah)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ S ≡ B
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai benar

(b) 15 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 15 tidak habis dibagi 2
Misalkan
p : “15 adalah bilangan genap” (Salah)
q : “15 tidak habis dibagi 2 (Benar)
Maka : p ↔ q ≡ S ↔ B ≡ S
Jadi pernyataan majemuk di atas bernilai salah

(c) x adalah bilangan prima jika dan hanya jika x tidak habis dibagi 6
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x adalah bilangan prima maka x tidak habis dibagi 6 (Benar)
Jika x tidak habis dibagi 6 maka x adalah bilangan prima (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah

(d) x lebih dari 6 jika dan hanya x lebih dari 3
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika x lebih dari 6 maka x lebih dari 3 (Benar)
Jika x lebih dari 3 maka x lebih dari 6 (Salah)
Karena biimplikasi harus benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai salah

(e) ABC adalah segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang
Tinjau implikasi arah ke kanan dan ke kiri, diperoleh
Jika ABC adalah segitiga sama sisi maka ketiga sisinya sama panjang (Benar)
Jika ketiga sisinya sama panjang maka ABC adalah segitiga sama sisi (Benar)
Karena benar pada kedua arah (kiri dan kanan), maka biimplikasi tersebut bernilai Benar

07. Manakah diantara implikasi berikut ini dapat diganti dengan biimplikasi
(a) Jika segi empat ABCD adalah persegi maka keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar
(b) Jika sebuah bilangan habis dibagi empat maka bilangan tersebut juga habis dibagi dua
(c) Jika persamaan ax² + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real maka diskriminannya negatif

Jawab
(a) Pernyataan diatas jika dibalik berbunyi :
Jika keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar maka segiempat ABCD adalah persegi (Benar)
Sehingga pernyataan di atas dapat diganti biimplikasi yang bunyinya:
segiempat ABCD adalah persegi Jika dan hanya jika keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya sama besar

(b) Pernyataan diatas jika dibalik berbunyi :
Jika sebuah bilangan habis dibagi dua maka bilangan tersebut juga habis dibagi empat (Salah)
Sehingga pernyataan di atas tidak dapat diganti biimplikasi

(c) Pernyataan diatas jika dibalik berbunyi :
Jika diskriminannya negatif maka persamaan ax² + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real (Benar)
Sehingga pernyataan di atas dapat diganti biimplikasi yang bunyinya:
persamaan ax² + bx + c = 0 tidak mempunyai akar-akar real Jika dan hanya jika diskriminannya negatif

08. Tentukanlah nilai x agar biimplikasi berikut ini bernilai benar
(a) x – 5 = 3 jika dan hanya 3x + 2 = 8
(b) x² – 6x + 8 = 0 jika dan hanya jika x² + 3x – 10 = 0
(c) 4x + 5 = 25 jika dan hanya jika 7 adalah bilangan prima
(d) 5x – 7 = 23 jika dan hanya jika 20 adalah faktor dari 5

Jawab
(a) p : “x – 5 = 3”
p : “x = 8” Benar jika x = 8
q : “3x + 2 = 8”
q : “3x = 6”
q : “x = 2” Benar jika x = 2
Jadi p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 2 dan 8

(b) p : “x² – 6x + 8 = 0”
p : “(x – 4)(x – 2) = 0” Benar jika x = 2 dan x = 4
q : “x² + 3x – 10 = 0”
q : “(x – 5)(x – 2) = 0” Benar jika x = 2 dan x = 5
Jadi p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 4 dan 5

(c) p : “4x + 5 = 25”
p : “4x = 20”
p : “x = 5” Benar jika x = 5
q : “7 adalah bilangan prima” (Benar)
Jadi p ↔ q bernilai benar hanya untuk x = 5

(d) p : “5x – 7 = 23”
p : “5x = 30”
p : “x = 6” Benar jika x = 6
q : “20 adalah faktor dari 5” (Salah)
Jadi p ↔ q bernilai benar untuk semua x bilangan real kecuali 5