Misalkan a1, a2 dan a3 adalah bilangan-bilangan positip dan diketahui persamaan vektor a = a1i+ a2j + a3k, maka panjang vektor a secara geometris dapat digambarkan:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjavQhkQvzFIrgdJBmla1cvHypbB5GGuRiY-8JFu6dpT_lZBFm9FBUBIhjVMtgNc0xq4xLFs2kmhPnb6ZPSIWSNDXoWg-QrO-QYpXvKSC1h2q6FQ4S9KbQV8RQ4kK29HRvj34VHJBfIGvQ/s200/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+1.JPG)
Dengan bantuan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang vektor a , yaitu:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8h8rc0bTAIbHT7ry-Wts8RWaWN-KDyme6mb1Qhu11fROgx9UcPAOTZ3hyphenhyphenbg3rkix8OguhHAvKJRQFQcwF66YvDvPa87tXsgkwGfsnCykNt8zQLmx3G9h9Vevc0Ye-OwSDA1vvG27gLjg/s200/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+2.JPG)
Sedangkan untuk A(Ax, Ay, Az) dan B(Bx, By, Bz) maka panjang vektor AB dirumuskan
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiM2uxbExdNh02ZG_0lU22kSW4SAXYZrPqrjxtJBBhl63qljI8hyxob2z3HNhBg3XKWu5BHe7YT80V-bEG99nebfV8IPgWfc1l-j2ca5Shq3fZk7y0yNUrqgYxXojBgstIYko4yvcu0UIA/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+3.JPG)
Sebagai contoh, misalkan vector a = 4 i – 5 j + 3 k , maka panjang vector a adalah
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIXddaLexoshOXN-JveAqcI7x9nfsDS_Ws7yBWm6fXts-udN0xRsAxDRxLW16pSEV0Voj7GJZap1AS6P-_0SVJlu964bmLIq9spX4K7TzRZWNi_5Teh2ctAskD5QyTsshfC698yTOr08c/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+4.JPG)
Sedangkan untuk titik A(-2, 4, -1) dan B(-5, 2, 5), maka panjang vektor AB didapat:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnGfJMKhuF6OYiP22S_yIeO2_gWRF1XJV1cSf-y2GVhchbxf4iLIUkeUvshAV6HfIZMpTo0fkTvmFoMul19hnmgxj_0cvSmWXTnzipgaHhgPSnCDA84kR0tmL_oOC4qpwuOdHPmAKW9sU/s640/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+5.JPG)
Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka perkalian skalar a dan b secara geometris didefinisikan:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdCaQA_c2LjEvU3iLcHEgeypUTcnUXZ2SnCVr0gOo5H-sFO81MAyxf-2oJBWiMVO2e_RDNrHQzEYBZ3ob_I7QnCfPdOhyphenhyphen4MvtZK-NXX5yiu6VdoYHA1olwptcgk3mdIMrLF77I0l7X8VU/s400/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+6.JPG)
Sebagai contoh diketahui dua vector a dan b seperti gambar berikut.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrIJ35Yy26UcZ9DeyYGtUriJ4l6n_rbkoT8nwLYkIMgczHMfnATuVWGlU2hogs6ZwNlfT0k8mNVYf1ODrDyStZZ0I9h8rZwXGR_7EmaKJ2j1awWymnmy-8TcsoJJ_bFrOK9IrCspYaoSs/s400/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+7.JPG)
Sedangkan secara analitis perkalian skalar dua vektor a dan b didapat dengan cara:![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1Xlsfp_PAflsjsz2hu-YeyFxh2kg6x4hoM3K_i9AGncooO8fsdMganvmh8xbUsh2-cMP5DVYlgDNVi6jnviSRjlwJZXklOWv_vCdLBhOT7WWZFIgBKLUyB2C9w9_OtW7_6Wj5lEktEkY/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+8.JPG)
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Diketahui dua vektor a dan b seperti gambar di bawah,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipNajzq2-2C1cuRim5hHLUBH3NzFs446zp2uffadpjyvYZPsnollVE6z0KGknoDhS1qScAwChAf1GradgWnrHLaYG7151bH-7-v9BuzUmCMv2oVXx_2BF3ynduuXbTc3z__WP8Cp0ijEk/s1600/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+9.JPG)
Jawab
Karena kedua pangkal vektor belum berimpit, maka kedua vektor digambar menjadi
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYsbiCYI9h6KEkQcTpZmPM1_Pnbbo-aWG8gKpbW-0ETu9soiNHilT6I29f_WhJ1cyECb0Zi7Ct2JSffz535vY_FjFjGZiuJx2dheM5F3KvrXYa7eG-kcm_71IwbwRWlPz7p4K8yeuRjn4/s400/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+10.JPG)
02. Jika diketahui dua vektor a dan b dimana a = 6 cm dan b = 4 cm serta berlaku ( a + b ).( a + b ) = 16. Tentukanlah nilai a . b
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0VXLvcv4CusykrwCvxwnEi53T3st9P7u96VOJrrtcGjPru_xAMewQAhofmh259o_DFgmFHjxBStuL_P2_-yNMm2m7LCFCjYIt6uYrmYSzKYWeIUJX1QO6RJrcgysJOzSTr1tgkt_rOF0/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+11.JPG)
03. Jika diketahui vektor a dan b dimana a = 4 cm dan b = 5 cm serta <( a , b ) = 600 maka tentukanlah nilai |b - a|
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicrqGPzVAjfjwT07pQ6uWpMCPcNHUedpDVdZGQHhi4d9MDCFzIyHJrhIjbBsKDsM04FCu9KynPtms-mHaimM1JFkI8VdSMPa_UnSDQbIyDbOMWLS9Tt6BrK1E-jzh01RGbB_1kZcKuAzI/s400/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+12.JPG)
04. Diketahui dua vektor a = 3 i – 3 j + 5 k dan b = 4 i – 5 j + 3 k . Maka tentukanlah nilai a . b
Jawab
a . b = (3)(4) + (–3)( –5) + (5)(3)
a . b = 12 + 15 + 15
a . b = 42
05. Diketahui tiga titik A(4, -1, 2), B(5, 2, 5) dan C(-3, 4, 0). Tentukanlah nilai AB . AC
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiebItyeGZ0djgyqk4TkIL_nlhdcXkEd2DF-zaFXrG03GB_FJ6Y9nJ79atHj6Sm6_5EewtU-UM5NjWjrKDj3KSpxzyG_UmK9_YcA-xI8pCnsUBKOomTPXe7wtT9QqEgYN0mdLDwPMn-2s8/s200/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+13.JPG)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixs7i1RvVk4IZnTbLv7LESjaC2EIPaC5jGdEQYhpXyq-OFsPmfGLRWl9kOhFQxXP8wTspy2L37Afv_xVJ_Z_lhpmGFlNVy6ndjfEKzARzboPBX1E09Muab3Le4gnC9ljMmBcNfwH6gatc/s640/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+14.JPG)
06. Diketahui P(2, 2x, 0), Q(–1, 1, –7) dan R(3x, 3, x). Jika PQ . PR = –23 maka tentukanlah nilai x
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQefYl81Ary2icd_AHbKtvauhyphenhyphengXngbWWI-ak6zII89CpNEyiCBFJBFzWoqvBBRuWYyWff2XxWs-87BB0pwIp0xTF63dDW21GtW1nXfo4VC3kF6kGPSzyUyPFSve-Qrkika918dA7Fzas/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+15.JPG)
Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka sudut antara a dan b didapat dengan menurunkan rumus perkalian skalar dua vektor, yaitu:
Jika dan tegak lurus, maka sudut antara a dan b adalah 90o sehingga:
Jadi jika vektor a tegak lurus vektor b maka a . b = 0.
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui vektor dan dimana |a| = 3 cm dan |b| = 4 cm. Jika a . b = –6 maka tentukanlah besar sudut antara a dan b
Jawab
a . b = cos α
–6 = (3)(4) cos α
–6 = 12 cos α
cos α = – ½
maka = 120o
02. Diketahui tiga titik A(2, 1, 0), B(–1, –3, 5) dan C(2, 3, 2). Jika α adalah sudut antara AB dan AC maka tentukanlah nilai cos α
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiu7pNPy-EniDdjHJAoHvt64-jTtBykNJLq0qzB6A3aZSv1fmhZACICylXczAVAS5WGyAxB309zE9YHdj_dyaTaaCw587zqXd6JRvn-qJj8IoBeUvR_V83eoLyKv7yMk4VHi7F6Dpjeot0/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+17.JPG)
03. Diketahui vektor
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhCMiKOaJlS-KKRAi_tCG_zADpsZ5zn_EhQiDlNEwU_wJqILxFfObTpn4C5BsQ5k05JxT8qYlM3Yrq959VzNUgGCG9LZdSoI3RR8KIVBIK5WHZF_qANeimSAOx1qYDixI-oqMMqZ-jHWMM/s200/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+18.JPG)
Jika a tegak lurus b maka tentukanlah nilai x
Jawab
Jika a vektor tegak b lurus vektor maka a . b = 0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3xk0FqCtjXPuQkuOytT4ynE7i9E1Z3yqc2iSM6USgC6wfdhIFnNQTXx53ZU22yu4lcdkN9lXVZRF2HnE8H7E_BllE5LTUNlhP-S_vI9Ue5oUgAiPgnqTSErcGljwhhZzfc0jUg6tfByY/s320/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+19.JPG)
04. Diketahui vektor a dan b dimana |a| = 6 cm dan |b| = 4 cm serta |a + b| = 8 cm. Jika α adalah sudut antara a dan b, maka tentukanlah nilai cos α
Jawab
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS1D5FdsVFrlH97M_4X-ChgGysXevJEMIxnOpwEuB0M6pBsavZxn6cKK05uMfUkja0yJrwvQerJ5EwixsJpqJx7Qal-0i-27ijw7iw4iRXXkxf1WMIR0SlJFSSiftFivyMntCtYaBZiUk/s1600/Perkalian+Skalar+Dua+Vektor+20.JPG)
Dengan bantuan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang vektor a , yaitu:
Sedangkan untuk A(Ax, Ay, Az) dan B(Bx, By, Bz) maka panjang vektor AB dirumuskan
Sebagai contoh, misalkan vector a = 4 i – 5 j + 3 k , maka panjang vector a adalah
Sedangkan untuk titik A(-2, 4, -1) dan B(-5, 2, 5), maka panjang vektor AB didapat:
Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka perkalian skalar a dan b secara geometris didefinisikan:
Sebagai contoh diketahui dua vector a dan b seperti gambar berikut.
Sedangkan secara analitis perkalian skalar dua vektor a dan b didapat dengan cara:
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Diketahui dua vektor a dan b seperti gambar di bawah,
Tentukanlah nilai a . b
Karena kedua pangkal vektor belum berimpit, maka kedua vektor digambar menjadi
02. Jika diketahui dua vektor a dan b dimana a = 6 cm dan b = 4 cm serta berlaku ( a + b ).( a + b ) = 16. Tentukanlah nilai a . b
Jawab
03. Jika diketahui vektor a dan b dimana a = 4 cm dan b = 5 cm serta <( a , b ) = 600 maka tentukanlah nilai |b - a|
Jawab
04. Diketahui dua vektor a = 3 i – 3 j + 5 k dan b = 4 i – 5 j + 3 k . Maka tentukanlah nilai a . b
Jawab
a . b = (3)(4) + (–3)( –5) + (5)(3)
a . b = 12 + 15 + 15
a . b = 42
05. Diketahui tiga titik A(4, -1, 2), B(5, 2, 5) dan C(-3, 4, 0). Tentukanlah nilai AB . AC
Jawab
06. Diketahui P(2, 2x, 0), Q(–1, 1, –7) dan R(3x, 3, x). Jika PQ . PR = –23 maka tentukanlah nilai x
Jawab
Jika a = a1i+ a2j + a3k dan b = b1i+ b2j + b3k maka sudut antara a dan b didapat dengan menurunkan rumus perkalian skalar dua vektor, yaitu:
Jadi jika vektor a tegak lurus vektor b maka a . b = 0.
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui vektor dan dimana |a| = 3 cm dan |b| = 4 cm. Jika a . b = –6 maka tentukanlah besar sudut antara a dan b
Jawab
a . b = cos α
–6 = (3)(4) cos α
–6 = 12 cos α
cos α = – ½
maka = 120o
02. Diketahui tiga titik A(2, 1, 0), B(–1, –3, 5) dan C(2, 3, 2). Jika α adalah sudut antara AB dan AC maka tentukanlah nilai cos α
Jawab
03. Diketahui vektor
Jika a tegak lurus b maka tentukanlah nilai x
Jawab
Jika a vektor tegak b lurus vektor maka a . b = 0
04. Diketahui vektor a dan b dimana |a| = 6 cm dan |b| = 4 cm serta |a + b| = 8 cm. Jika α adalah sudut antara a dan b, maka tentukanlah nilai cos α
Jawab
0 komentar:
Posting Komentar