Aljabar dan Program Linier

Persamaan dan Pertidaksamaan • Bentuk Aljabar • Persamaan Linier • Matriks • Vektor di Ruang Dua dan Ruang Tiga • Program Linier

12. Menggunakan konten bentuk aljabar untuk menyelesaikan masalah

Semua nilai a pada interval berikut ini yang menjadikan persamaan kuadrat 2x² - ax + 2 = 0 mempunyai dua akar riil berbeda adalah ....

Persamaan kuadrat akan memiliki dua akar riil yg berbeda jika D > 0
Pada persamaan kuadrat 2x² - ax + 2 = 0, D = (-a)² - 4(2)(2)
D = a² - 16
Agar D > 0, maka a² - 16 > 0
(a + 4)(a - 4) > 0
a < -4 atau a > 4

Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut adalah ...

a. x < -1
b. x > 1
c. -2 ≤ x ≤ 2
d. x ≤ -2 atau x ≥ 2
e. x < -1 atau x > 1

Jawabannya E. x < -1 atau x > 1

Diketahui himpunan penyelesaian dari (x + 3)(x - 4)/(ax² + ax + 2) ≤ 0 adalah {x | -3 ≤ x ≤ 4}. Semua nilai a yg memenuhi adalah ...
A. 0 < a < 8 B. 1 ≤ a ≤ 7 C. 1 < a < 7 D. a < 0 atau a > 6 E. a ≤ 1 atau a ≥ 7

Karena HP merupakan penyelesaian dari pembilang ≤ 0 maka penyebut haruslah definit positif
a² - 4(a)(2) < 0 a² - 8a < 0 a(a - 8) < 0 0 < a < 8 (A)

Diketahui suatu garis g menyinggung parabola y = x² + 4x - 2 di titik (1, a). Jika garis g juga melalui titik (2, b), maka b = ...
a. 9 b. 7 c. 6 d. 3 e. 2

y = x² + 4x - 2
y' = 2x + 4
Substitusi nilai x = 1,maka a = 1² + 4(1) - 2
a = 1 + 4 - 2 = 3

Gradien garis g adalah 2(1) + 4 = 6
Persamaan garis g dgn gradien 6 dan melalui (1 , 3) adalah
y - 3 = 6(x - 1)
Garis g melalui titik (2, b), maka
b - 3 = 6(2 - 1)
b - 3 = 6
b = 9 (A)

20. Menggunakan vektor dalam bidang untuk menyelesaikan masalah

Sudut antara dua buah vektor v dan w adalah 60°, v = i - aj, dan w = 2i + j, tentukan jumlah semua nilai a yg mungkin..

v.w = |v|.|w|.cos α (1, -a)(2, 1) = (√(1² + (-a)²))(√(2² + 1²)) cos 60°
2 - a = (√(1 + a²))(√(4 + 1)) ½
2(2 - a) = (√(1 + a²))(√5)
2(2 - a) = √(5 + 5a²)
Kuadratkan kedua sisi
4(4 - 4a + a²) = 5 + 5a²
16 - 16a + 4a² = 5 + 5a²
a² + 16a - 11 = 0
Jumlah semua nilai a yg mungkin adalah -16/1 = -16

Diketahui vektor v = 3i + aj dan w = 2i - j dengan v dan w membentuk sudut 30°. Hasil kali semua a yang memenuhi adalah ...
a. -48/11 b. -9/11 c. 9/11 d. 11/11 e. 48/11

v.w = |v|.|w|.cos α
(3, a)(2, -1) = √(3² + a²)√(2² + (-1)²) cos 30°
6 - a = √(9 + a²)√5 × ½√3
12 - 2a = √(9 + a²)√15
12 - 2a = √(135 + 15a²)
144 - 48a + 4a² = 135 + 15a²
11a² + 48a - 9 = 0

Hasil kali semua a yg memenuhi adalah -9/11 (B)

44. Menggunakan konsep nilai mutlak untuk menyelesaikan masalah pertidaksamaan

Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah ...
a. -1 < x ≤ 0 atau 5 < x ≤ 8
b. -1 < x < 1 atau 5 < x < 9
c. 5 < x ≤ 8
d. -1 < x < 1
e. 5 < x < 9

Untuk x ≥ 2
(x - 2)/(x - 5) - 2 ≥ 0
(x - 2)/(x - 5) - 2(x - 5)/(x - 5) ≥ 0
(-x + 8)/(x - 5) ≥ 0
-x + 8 ≥ 0 dan x - 5 > 0

-x ≥ -8 dan x > 5
x ≤ 8 dan x > 5
{5 < x ≤ 8}

-x + 8 ≤ 0 dan x - 5 < 0
-x ≤ -8 dan x < 5
x ≥ 8 dan x < 5 (TM)

Untuk x < 2
(x - 2)/(-x - 1) - 2 ≥ 0
(x - 2)/(-x - 1) - 2(-x - 1)/(-x - 1) ≥ 0
(3x)/(-x - 1) ≥ 0

3x ≥ 0 dan -x - 1 > 0
x ≥ 0 dan -x > 1
x ≥ 0 dan x < -1 (TM)

3x ≤ 0 dan -x - 1 < 0
x ≤ 0 dan -x < 1
x ≤ 0 dan x > -1
{-1 < x ≤ 0}

a. -1 < x ≤ 0 atau 5 < x ≤ 8

55.Menggunakan materi terkait matriks transformasi (translasi, refleksi, dilatasi dan atau rotasi) untuk menyelesaikan masalah

56. Menggunakan materi perkalian atau invers matriks untuk menyelesaikan masalah

Jika

, maka a + b + c + d = ...
a. 224 b. 216 c. 120 d. 96 e. 88

Jawaban E. 88

Matriks pada gambar menyatakan sistem persamaan ...
a. x + 2y + 3z = 4; z = 3x + 4y + 2; 3x + 4z + 5 = 0
b. x + 2y + 3z = -4; z = 3x - 4y + 2; 3x + 4z + 5 = 0
c. x + 2y + 3z = -4; z = 3x - 4y - 2; 3x + 4z + 5 = 0
d. x + 2y + 3z - 4 = 0; z = 3x - 4y + 2; 3x + 4z + 5 = 0
e. x + y + 3z - 4 = 0; z = 3x - 4y + 2; 3x + 4z - 5 = 0

x + 2y + 3z + 4 = 0
x + 2y + 3z = -4

-3x + 4y + z + 2 = 0
z = 3x - 4y - 2

3x + 4z + 5 = 0

C. x + 2y + 3z = -4; z = 3x - 4y - 2; 3x + 4z + 5 = 0

57. Menggunakan materi program linier untuk menyelesaikan masalah

Sebuah pabrik membuat roti A dan B tidak lebih dari 100. Modal untuk membuat roti A adalah Rp. 7000 dan roti B adalah Rp 12.000, dan uang yg tersedia adalah Rp 1.000.000. Keuntungan penjualan roti A adalah 1000/buah dan roti B adalah 2000/buah. Agar mendapatkan keuntungan maksimum, maka selisih roti A dan roti B yg dijual adalah ...

A + B ≤ 100 ... (i)
7000A + 12000B ≤ 1000000
7A + 12B ≤ 1000 ... (ii)

Samakan koefisien A pada pers (i) dengan mengalikan dengan 7 sehingga menjadi 7A+ 7B ≤ 700
Eliminasi (i) dan (ii), didapat 5B = 300
B = 60
A = 40

Titik potong (i) dgn sumbu X dan Y adalah (100,0) & (0,100)
Titik potong (ii) dgn sumbu X dan Y adalah (1000/7, 0) & (0,1000/12)

Fungsi tujuan : 1000A + 2000B
(100, 0) >> 100000
(0, 1000/12) >> 2000000/12 = 166666,66
(40, 60) >> 40000 + 120000 = 160000

Jadi keuntungan maksimum jika membuat roti B sebanyak 83 buah dan tak membuat roti A. Selisihnya = 83

58. Menggunakan solusi sistem persamamaan linier untuk menyelesaikan masalah kontekstual

59. Menggunakan materi terkait dengan determinan matriks untuk menyelesaikan masalah

60. Menyelesaikan permasalahan terkait dengan polinomial