Barisan Bilangan dan Induksi Matematika

Barisan dan Deret Aritmetika • Barisan dan deret Geometri • Barisan Fibonacci • Induksi Matematik

25. Menggunakan konsep barisan aritmetika untuk menyelesaikan masalah

Dalam sebuah permainan seorang anak memasukkan kelereng-kelereng ke dalam beberapa buah wadah mengikuti pola barisan aritmetika. Pada wadah pertama memuat 20 kelereng dan wadah keduabelas (wadah terakhir) memuat 86 kelereng. Banyak kelereng yang ditaruh dalam wadah-wadah tersebut adalah ...
a. 436 b. 466 c. 586 d. 606 e. 636

a = 20, U12 = 86
S12 = (12/2)(20 + 86) = 6(106) = 636 (E)

7, 14, 21, ...., 2016 dan 4, 15, 26, ...., 2017
Banyaknya bilangan yang sama dari kedua barisan aritmatika berikut adalah ....
A. 10
B. 23
C. 25
D. 26
E. 28

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, ..., 147, ... (dst 11 suku berikutnya)
4, 15, 26, 37, 48, 59, 70, ..., 147, ... (dst 7 suku berikutnya)
Beda 1 = 7
Beda 2 = 11
Beda yang baru = 7.11 = 77
70, 147, 224, ...., ...., 1995 (U26)
Maka banyaknya ada 2016/(7×11) = 2016/77 ≈ 26,181818181818.....
D. 26

Barisan 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, ...
Tentukan suku ke-50

0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, ...
beda1 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
beda2 = 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
a = 0, b = 2, c = 1

Un = a + b(n - 1) + c(n - 1)(n - 2)/2
Un = 0 + 2(n - 1) + 1(n - 1)(n - 2)/2
Un = 2n - 2 + ½n² - 3/2n + 1
Un = ½n² + ½n - 1
Un = (n² + n - 2)/2

U(1) = (1+1-2)/2 = 0
U(2) = (4+2-2)/2 = 2
U(3) = (9+3-2)/2 = 5
U(50) = (2500+50-2)/2 = 1274

atau

Un = 2(n - 1) + 1(n - 1)(n - 2)/2
U1 = 2(1 - 1) + (1 - 1)(1 - 2)/2 = 0 + 0 = 0
U2 = 2(2 - 1) + (2 - 1)(2 - 2)/2 = 2 + 0 = 2
U3 = 2(3 - 1) + (3 - 1)(3 - 2)/2 = 4 + 1 = 5
Jadi U50 = 2(50 - 1) + (50 - 1)(50 -2)/2 = 98 + 1176 = 1274

26. Menggunakan konsep barisan geometri untuk menyelesaikan masalah

Jika 5a+3, 3a+1, dan 2a+5 berturut-turut membentuk barisan geometri, maka hasil kali semua nilai a yang mungkin adalah ...
A 31
B. 25
C. 14
D. -14
E. -25

(3a + 1)² = (5a + 3)(2a + 5)
9a² + 6a + 1 = 10a² + 31a + 15
a² + 25a + 14 = 0
Jumlah semua nilai a yang mungkin adalah -25/1 = -25 (A)

27. Menggunakan konsep deret aritmetika untuk menyelesaikan masalah

Diketahui barisan 2,5,10,17,26,...
Tentukan jumlah 100 suku pertama,,

2, 5, 10, 17, 26, ...
beda1 = 3, 5, 7, 9, ...
beda2 = 2, 2, 2, 2, ...
a = 2, b = 3, c = 2

Sn = an + bn(n - 1)/2 + cn(n - 1)(n - 2)/6
Sn = 2n + 3n(n - 1)/2 + 2n(n - 1)(n - 2)/6
Sn = 2n + 1,5n² - 1,5n + ⅓n³ - n² + ⅔n
Sn = ⅓n³ + ½n² + 7/6n
Sn = (2n³ + 3n² + 7n)/6

S(1) = (2+3+7)/6 = 2
S(2) = (16+12+14)/6 = 7
S(3) = (54+27+21)/6 = 17
S(100) = (2000000+30000+700)/6 = 338450

atau

Sn = 2n + 3n(n - 1)/2 + 2n(n - 1)(n - 2)/6
S1 = 2(1) + 3(1)(1 - 1)/2 + 2(1)(1 - 1)(1 - 2)/6 = 2 + 0 + 0 = 2
S2 = 2(2) + 3(2)(2 - 1)/2 + 2(2)(2 - 1)(2 - 2)/6 = 4 + 3 + 0 = 7
S3 = 2(3) + 3(3)(3 - 1)/2 + 2(3)(3 - 1)(3 - 2)/6 = 6 + 9 + 2 = 17
Jadi S100 = 2(100) + 3(100)(100 - 1)/2 + 2(100)(100 - 1)(100 - 2)/6 = 200 + 14850 + 323400 = 338450

28. Menggunakan konsep deret geometri untuk menyelesaikan masalah

38. Menggunakan prinsip induksi matematik untuk menyelesaikan masalah

49. Menggunakan pola barisan bilangan untuk menyelesaikan masalah

3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, 1, 3, 4, ... dengan n ≥ 3, suku ke - n merupakan angka satuan dari jumlah dua suku sebelumnya. Untuk Sn > 100, maka n minimum adalah ...

3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,...
Akan berulang terus setiap 12 kali
3+4+7+1+8+9+7+6+3+9+2+1 = 60

Agar Sn > 100
Maka jumlah berikutnya harus lebih dari (100 - 60) = 40
3+4+7+1+8+9+7+6 = 45

Terdapat 12 + 8 = 20 suku. Jadi, n minimum adalah 20

Berapa banyak batang yang dibutuhkan untuk membuat susunan batang yang ke 20 dari pola berikut?

A. 64
B. 53
C. 41
D. 38
E. 24

Pola ke-1 = 3 batang
Pola ke-2 = 5 batang
Pola ke-3 = 7 batang
Pola ke-4 = 9 batang
Pola tersebut membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama (a) = 3 dan beda (b) = 2
Maka pola ke-20 = 3 + 19.2 = 3 + 38 = 41 (C)