Geometri

Geometri Datar • Geometri Ruang • Geometri Transformasi

17. Menggunakan konsep bangun datar untuk menyelesaikan masalah

Jika diketahui garis k, l, m berturut-turut adalah x+y=4, 2x-y=2, 4x+y=4, dan titik A,B,C berturut-turut adalah titik potong garis k dan l, k dan m, l dan m, maka tentukan luas ΔABC

CARA 1 :

Titik A = (2, 2)
Titik B = (0, 4)
Titik C = (1, 0)
Dengan menggunakan rumus luas poligon menggunakan koordinat, didapat :
Luasnya = (2×4 + 0×0 + 1×2 - 2×0 - 4×1 - 0×2) /2
= (8 + 0 + 2 - 0 - 4 - 0)/2
= 6/2 = 3

CARA 2 :

Dengan memanfaatkan Persegi Panjang di sekeliling segitiga :
L. Persegi Panjang = 2 ⨯ 4 = 8
L. Segitiga di kanan bawah = ½ ⨯ 1 ⨯ 2 = 1
L. Segitiga di kanan atas = ½ ⨯ 2 ⨯ 2 = 2
L. Segitiga di kiri bawah = ½ ⨯ 1 ⨯ 4 = 2
L. ABC = 8 - 1 - 2 - 2 = 3

Diketahui persegi panjang ABCD dengan AB = 15 dan BC = 20. Terdapat titik E di AC sehingga luas ABCD delapan kali luas segitiga ABE, tentukan panjang CE

L. ABCD = 15 × 20 = 300
L. ABC = ½ × 300 = 150
L. ABE = ⅛ × 300 = 37,5

L. ABC = 4 × L.ABE
karena alasnya sama yaitu AB maka t.ABE = ¼BC= 5
AC = 25 dicari menggunakan tripel phytagoras 15, 20 dan 25

Pakai perbandingan segitiga, didapat
AE = ¼ × AC = 6,25
CE = ¾ × AC = 18,75

Diketahui persegi berukuran 10cm × 10cm , telah terbagi menjadi lima persegipanjang yang luasnya sama. Panjang AB = ....
A. 5⅓ B. 5⅔ C. 6 D. 6⅓ E. 6⅔

lima persegi panjang sama luas, maka satu persegi panjang luasnya 100/5 = 20 cm²
a.10 = 20
a = 2

a + b = 10
b = 8

b.c = 20
c = 20/8 = 2,5

c + d = 10
d = 7,5

d.f = 40
f = 40/7,5 = 80/15 = 16/3
AB = 5⅓ (B)
atau d.e = 20
e = 20/7,5 = 8/3

e + f = b
f = 8 - 8/3
f = 16/3
AB = 5⅓ (B)

ABCD adalah jajargenjang dengan luas sebesar 48 satuan luas. Titik E terletak pada diagonal AC dengan perbandingan AE:EC = 3:5. Luas segitiga CEB adalah ... satuan luas.
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
E. 16

L.ABCD = 48 satuan luas
L.ABC = ½×48 = 24 satuan luas
karena EC = ⅝AC
maka L.BEC = ⅝×L.ABC
L.BEC = ⅝×24
L.BEC = 15 (D)

Pada jajargenjang ABCD, AE = EF = FB.

Perbandingan luas segitiga DEF dan jajargenjang ABCD adalah ....
A. 1:5
B. 1:6
C. 2:7
D. 2:9
E. 3:11

karena AE = EF = FB, maka EF = ⅓ AB yang mengakibatkan Luas DEF = ⅓ Luas ABC
Luas DEF = ⅓ Luas ABC = ⅓ ⨯ ½ Luas ABCD
Luas DEF = ¹/₆ Luas ABCD
Sehingga perbandingan luas segitiga DEF dan jajargenjang ABCD adalah 1:6

Panjang sisi persegi pada gambar adalah 3. Setiap sisi dibagi menjadi tiga bagian yang sama panjang. Luas daerah yang diarsir adalah ...
a. 7√2 b. 6√3 c. 6 d. 5√3 e. 5√2

L.arsiran = ⅔ Luas Persegi = ⅔×3×3 = 6

Titik-titik sudut persegipanjang ABCD pada lingkaran dengan jari-jari r. Titik-titik P, Q, R dan S, adalah titik-titik tengah sisi AB, BC, CD dan AD. Keliling segiempat PQRS sama dengan 16. Nilai dari r adalah ...

Karena titik P, Q, R dan S berada di tengah sisi-sisi persegi panjang maka PQRS merupakan belah ketupat.
Keliling belah ketupat PQRS = 16
maka panjang sisinya = 4

Karena jari² lingkaran = panjang sisinya, jadi r = 4

30.Menggunakan konsep jarak titik ke bidang pada bangun ruang sisi datar untuk menyelesaikan masalah

31. Menggunakan konsep jarak titik ke garis pada bangun ruang sisi datar untuk menyelesaikan masalah

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB=20, BC=9, CG=12. titik P pada BG sehingga BP:PG = 1:2, Tentukan jarak P ke AG.

BG² = BC² + CG²
BG² = 9² + 12²
BG² = 81 + 144
BG² = 225
BG = 15

BP:PG = 1:2
BP = ⅓×15 = 5
PG = ⅔×15 = 10

AG² = AB² + BG²
AG² = 20² + 15²
AG² = 400 + 225
AG² = 625
AG = 25

Jarak P ke AG = ⅔×(20×15)/(25) = 8

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ...
a. 4√6 cm
b. 4√5 cm
c. 4√3 cm
d. 4√2 cm
e. 4 cm

Jarak M ke AG = ½ Jarak M ke tengah BC
Jarak M ke AG = ½ Diagonal Sisi
Jarak M ke AG = ½ ⨯ 8√2 = 4√2 (D)

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 12, AD = 3 dan AE = 4. Jarak titik B ke garis AG = ...
a. 7
b. 6,5
c. 6
d. 65/12
e. 60/13

BG = √(BC² + CG²)
BG = √(3² + 4²)
BG = 5

AG = √(AB² + BG²)
AG = √(12² + 5²)
AG = 13

Jarak B ke AG adalah AB×BG/AG
= 12×5/13 = 60/13 (E)

Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 2. Jika P adalah titik tengah CD maka keliling bidang irisan antara kubus dan bidang BPH adalah ...
A. 4√3
B. 4√5
C. 6√2
D. 6√3
E. 12

BP = √(2² + 1²) = √5
karena BP = PH dan irisan yg terbentuk memiliki panjang sisi yg sama (BELAH KETUPAT), maka kelilingnya adalah 4√5 (B)

33. Menggunakan konsep transformasi geometris untuk menyelesaikan masalah

Persamaan bayangan garis y = 2x - 3 karena refleksi terhadap garis y = -x dilanjutkan dengan refleksi terhadap y = x adalah ....
A. y + 2x - 3 = 0
B. y - 2x - 3 = 0
C. 2y + x - 3 = 0
D. 2y - x - 3 = 0
E. 2y + x + 3 = 0

Bayangan garis y = 2x - 3 karena refleksi terhadap garis y = - x adalah -x = -2y - 3
Bayangan garis -x = -2y - 3 karena refleksi terhadap garis y = x adalah -y = -2x - 3
atau y - 2x - 3 = 0 (B)

35. Menggunakan konsep volume bangun ruang untuk menyelesaikan masalah

Kubus ABCD.EFGH dengan R pada EC sehingga ER:RC = 2:1 perbandingan volume limas dan kubus adalah ?
A. 1:3
B. 1:4
C. 1:6
D. 1:8
E. 1:9

Limasnya R.ABCD
V.Kubus = s³
V. Limas = ⅓ × s² × (⅓ s) = ¹/₉ s³
V. Limas : V. Kubus = 1 : 9

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4, luas permukaan bangun ruang bidang lima yang dibatasi oleh bidang-bidang ABF, BCF, CDF, DAF, dan bidang ABCD adalah ...

L.ABF = L.BCF = ½×4×4 = 8
L. CDF = L.DAF = ½×4×4√2 = 8√2
L.ABCD = 4×4 = 16

L total = 8 + 8 + 8√2 + 8√2 + 16 = 32 + 16√2

50. Menggunakan dalil Pythagoras untuk menyelesaikan masalah

Perhatikan gambar berikut!

Panjang KN adalah ....
A. 5
B. 8
C. 9
D. 12
E. 15

KL² = KM² - LM²
KL² = 17² - 8²
KL² = 289 - 64
KL² = 225
KL = 15

LN² = MN² - LM²
LN² = 10² - 8²
LN² = 100 - 64
LN² = 36
LN = 6

KN = KL - LN = 15 - 6 = 9 (C)