Kalkulus II (Limit, Turunan dan Integral)

Limit Fungsi • Turunan • Anti Turunan • Aplikasi Turunan dan Anti Turunan

15. Menggunakan konsep anti turunan untuk menyelesaikan masalah

Nilai dari ₀∫² x²(x + 2) dx adalah ....
A. 6
B. 6⅓
C. 6⅔
D. 9⅓
E. 20

₀∫² x²(x + 2) dx
= ₀∫² (x³ + 2x²) dx
= [¼x⁴ + ⅔x³]²₀
= ¼(2)⁴ + ⅔(2)³
= 4 + ¹⁶/₃
= 9⅓ (D)

∫8 sin² x cos² x dx = ....
A. x - sin 4x + C
B. x + sin 4x + C
C. x - ¼ sin 4x + C
D. x + ¼ sin 4x + C
E. x - 4 sin 4x + C

∫8 sin² x cos² x dx = ∫2 × 4 sin² x cos² x dx
= ∫2 × (2 sin x cos x)² dx

ingat bahwa : sin 2x = 2 sin x cos x

= ∫2 sin² 2x dx

cos 4x = 1 – 2 sin² 2x
2 sin² 2x = 1 – cos 4x

= ∫(1 - cos 4x) dx
= x – ¼ sin 4x + C
C. x – ¼ sin 4x + C

Hasil dari ∫√(1 - cos 2x) dx = ....
A. √(x - ½ sin 2x + C)
B. √(x + ½ sin 2x + C)
C. -2 cos x + C
D. -√2 cos x + C
E. √2 cos x + C

∫√(1 - cos 2x) dx = ∫√(2 sin² x) dx
= ∫√2 sin x dx
= √2 (- cos x) + C = -√2 cos x + C (D)

∫ 15 sin³ 2x/sin x dx = ...
a. 240 sin³ x - 40 cos⁵ x + C
b. 120 cos³ x + 24 sin⁵ x + C
c. 40 sin³ x - 24 sin⁵ x + C
d. 45 cos³ x + C
e. 5 sin³ x + C

∫ 15 sin³ 2x/sin x dx
= 15 ∫ 8 sin³ x cos³ x/sin x dx
= 120 ∫ sin² x cos³ x dx
= 120 ∫ sin² x cos x (cos² x) dx
= 120 ∫ sin² x cos x (1 - sin² x) dx
= 120 ∫ (sin² x cos x - sin⁴ x cos x) dx
= 120 (⅓ sin³ x - 1/5 sin⁵ x) + C
= 40 sin³ x - 24 sin⁵ x + C

21. Menggunakan konsep limit fungsi bentuk aljabar untuk menyelesaikan masalah

A. -1½
B. -½
C. 0
D. ½
E. 1½

cos x – cos 3x = - 2 sin ½ (x + 3x) sin ½ (x – 3x)
= -2 sin 2x sin (-x)

INGAT : sin (-x) = - sin x

= -2 sin 2x (- sin x)
= 2 sin 2x sin x

D. ½

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

lim ₓ → ₂ (2 - 2x)(2×3)/(-2x)
= [2 - 2(2)](6)/[-2(2)]
= (-2)(6)/(-4)
= 3 (C)

a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

Jawaban B. 4

22. Menggunakan konsep turunan fungsi trigonometri untuk menyelesaikan masalah

34. Menggunakan konsep turunan fungsi untuk menyelesaikan masalah

Diketahui f(x) = (2x²+ ax + 4)³ dan f'(2) = 36, tentukan nilai a

f(x) = (2x² + ax + 4)³
f'(x) = 3(2x² + ax + 4)²(4x + a)
f'(2) = 3(8 + 2a + 4)²(8 + a)
36 = 3(2a + 12)²(8 + a)
12 = (2a + 12)²(8 + a)
12 = (2(a + 6))²(8 + a)
12 = 4(a + 6)²(8 + a)
3 = (a + 6)²(8 + a)

3 = 1² × 3 = (-1)² × 3
Utk 3 = 1² × 3,
a + 6 = 1, jadi a = -5
8 + a = 3, jadi a = -5
MEMENUHI

Utk 3 = (-1)² × 3,
a + 6 = -1, jadi a = -5
8 + a = 3, jadi a = -5
TIDAK MEMENUHI

Jadi, nilai a = -5

42. Menggunakan konsep turunan fungsi untuk menyelesaikan masalah

Dua buah garis sejajar yg dengan garis y = 5x+4 menyinggung y = x³-4x dititik (a,b) dan (c,d). Tentukan nilai ac

Garis sejajar y = 5x + 4, maka m = 5
y = x³ - 4x
y' = 3x² - 4

3x² - 4 = 5
3x² = 9
x² = 3
x = ±√3

Jadi a = -√3 dan c = √3
Maka ac = -3

Garis menyinggung parabola y = x² di titik (1, 1). Persamaan garis singgungnya adalah ...
A. y = 2x + 1
B. y = 2x - 1
C. y = -2x - 1
D. y = -2x + 1
E. y = -2x + 3

y’ = m
m = 2x
Gradien pada titik (1, 1) adalah 2(1) = 2
y = mx + c
y = 2x + c
substitusi titik (1, 1) ke y = 2x + c, maka 1 = 2(1) + c → c = -1
PGS : y =2x - 1 (B)