ARDI KUSNADI

Kombinatorika dan Statistika

Kaidah Pencacahan • Kombinasi • Permutasi • Teori Peluang • Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data 

13. Menggunakan kaidah kombinasi untuk menyelesaikan masalah

Berapa banyak susunan huruf INDONESIA sehingga tidak ada dua vokal yg berdekatan
_N_D_N_S_
Agar vokal tidak berdekatan maka harus diisi di tempat kosong
Cara mengisinya :
5C5 × 5!/2! × 4!/2! = 6!

Ket :
5C5 karena ada 5 tempat kosong (5 yg depan) akan diisikan 5 huruf vokal (5 yg belakang)
5!/2! Karena dari 5 huruf vokal ada 2 huruf I yg sama
4!/2! Karena dari 3 huruf A yg sama

Banyak cara menyusun huruf² dari kata PENALARAN dengan dua huruf A tidak berdekatan adalah ...
_P_E_N_L_R_N_
Huruf Anya : A, A, A

7C3 × 6!/2! × 3!/3!
= 35 × 3 × 5!
= 105 × 5!

Ket :
7C3 karena ada 7 tempat kosong akan diisikan 3 huruf A
6!/2! Karena dari 6 huruf PENLRN ada 2 huruf N yg sama
3!/3! Karena dari 4 huruf konsonan ada 2 huruf N yg sama

Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan tidak ada dua huruf A yang berdekatan ada sebanyak ...
A. 24×8!
B. 24×7!
C. 12×8!
D. 14×7!
E. 12×7!
_M_T_E_M_T_I_K_
8C3 × 7!/2!2! = 56 × 7!/4 = 14 × 7! (D)

Keterangan :
8C3 : Kombinasi digunakan ketika ada 8 tempat yg kosong, dan kita akan menempatkn 3 huruf A
Jadi Memilih tempat agar A tdk berdekatan
Sdgnkan 7!/2!2! adalah menyusun MTEMTIK ad 7 huruf dgn 2 M dan 2 T

14. Menggunakan kaidah permutasi untuk menyelesaikan masalah

Dua keluarga yang masing-masing terdiri dari 2 orang dan 3 orang ingin foto bersama. Banyak posisi foto yang berbeda dengan anggota keluarga yang sama selalu berdampingan adalah ....
A. 24
B. 36
C. 48
D. 72
E. 96
Banyak susunan yang berbeda adalah 2!.2!.3! = 2.2.6 = 24

Jika koefisien x²y⁸ pada (ax + y)¹⁰ adalah 720, maka nilai a yang mungkin adalah ...
a. 10 b. 9 c. 8 d. 4 e. 2
10!/2!8! × a² × 1⁸ = 720
45a² = 720
a² = 16
a² - 16 = 0
(a + 4)(a - 4) = 0
a = -4 atau a = 4 (D)

18. Menggunakan ukuran pemusatan data untuk menyelesaikan masalah

Tes matematika diberikan kepada 100 siswa yang tersebar di tiga kelas. Perbandingan rata-rata skor matematika kelas pertama dan kelas kedua sama dengan 4 : 3. Sedangkan rata-rata skor matematika kelas ketiga sama dengan rata-rata dari skor matematika kelas pertama dan kedua. Jika banyak siswa kelas pertama dan kedua masing-masing 35 orang dan rata-rata skor matematika seluruh siswa adalah 8, maka rata-rata skor matematika kelas ketiga adalah ...
a. 6,0 b. 6,5 c. 7,0 d. 7,5 e. 8,0
n1 = 35, n2 = 35, n3 = 30
Total nilai = 8×100 = 800

3X1 = 4X2
¾X1 = X2

X3 = (35X1 + 35X2)/70
X3 = (X1 + X2)/2
X3 = (X1 + ¾X1)/2
X3 = (7/4 X1)/2
X3 = ⅞X1

35X1 + 35X2 + 30X3 = 800
35X1 + 35(¾X1) + 30(⅞X1) = 800
280X1 + 35(6X1) + 30(7X1) = 6400
(280 + 210 + 210)X1 = 6400
700X1 = 6400
X1 = 64/7

X3 = ⅞X1 = ⅞×64/7 = 8
atau

3X1 = 4X2
¾X1 = X2

X3 = (35X1 + 35X2)/70
X3 = (X1 + X2)/2
2X3 = X1 + ¾X1
2X3 = 7/4 X1
8/7 X3 = X1

X2 = ¾X1 = ¾(8/7 X3) = 6/7 X3

35X1 + 35X2 + 30X3 = 800
35(8/7 X3) + 35(6/7 X3) + 30X3 = 800
40X3 + 30X3 + 30X3 = 800
100X3 = 800
X3 = 8

19. Menggunakan ukuran penyebaran data untuk menyelesaikan masalah

Diberikan 7 data, setelah diurutkan, sebagai berikut : a, a+1, a+1, 7, b, b, 9. Jika rata-rata data tersebut 7 dan simpangan rata-ratanya 8/7, maka a + b = ....
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
E. 16
Rata-rata = 7, maka (a + a+1 + a+1 + 7 + b + b + 9) = 49
3a + 2b + 18 = 49
3a + 2b = 31

Simpangan rata-rata = 8/7 (7-a + 7-(a+1) + 7-(a+1) + b-7 + b-7 + 9-7) = 8
7-a + 6-a + 6-a + 2b - 12 = 8
2b - 3a + 7 = 8
2b - 3a = 1

Eliminasi persamaan 3a + 2b = 31 dan 2b - 3a = 1, maka didapat :
a = 5 dan b = 8
maka nilai a + b = 5 + 8 = 13 (B)

Sekumpulan data mempunyai jumlah nilai rata-rata, simpangan rata-rata dan simpangan baku adalah 15. Jika setiap data dikali 3 kemudian hasilnya dikurang 17, maka jumlah ketiga nilai statistika bertambah sebesar ...
A. 23
B. 16
C. 13
D. 12
E. 10
Ukuran pemusatan data pengaruh terhadap semua operasi dan ukuran penyebaran hanya pengaruh pada kali dan bagi
maka 15×3 - 17 = 45 - 17 = 28
Pertambahannya sebesar 28 - 15 = 13 (C)

24. Menggunakan kaidah pencacahan untuk menyelesaikan masalah

Berapa banyak bilangan 4 digit abcd dengan a < b < c < d
Jika Syarat a > b > c > d maka bilangan ribuan tersebut adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Terdapat 9 bilangan dan yang akan disusun ada 4 empat digit, maka
9 kombinasi 4 atau 9C4 = 126

Bilangan empat digit (angka) "abcd" dengan a > b > c > d ada sebanyak ...
a. 120 b. 210 c. 330 d. 360 e. 720
Jika Syarat a < b < c < d maka bilangan tersebut adalah 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Terdapat 10 bilangan dan yang akan disusun ada 4 empat digit, maka
10 kombinasi 4 atau 10c4 = 210 (B)

41. Menggunakan teori peluang untuk menyelesaikan masalah

Dua dadu dilempar undi bersama-sama satu kali. Peluang jumlah mata kedua dadu yang muncul habis dibagi 5 adalah ....
A. 2/36
B. 4/36
C. 5/36
D. 7/36
E. 8/36
Jumlah kedua mata dadu yang muncul habis dibagi 5 jika jumlahnya 5 atau 10
Kedua mata dadu berjumlah 5 adalah (1, 4), (2, 3), (3, 2) dan (4, 1)
Kedua mata dadu berjumlah 10 adalah (4, 6), (5, 5), dan (6, 4)
Jadi peluang munculnya adalah 7/36 (D)

Suatu dadu dilambungkan dua kali. Peluang jumlah mata yang muncul tujuh adalah ...
a. 1/4
b. 7/36
c. 1/6
d. 1/9
e. 1/12
berjumlah 7 ada 6 yaitu (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
Jadi peluangnya adalah 6/36 = 1/6 (C)

Sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali. Peluang muncul mata dadu dengan jumlah 9 adalah ...
(9-1)C(6-1)/6⁶
= 8C5/6⁶
= 56/6⁶

Sebuah dadu dilempar sebanyak 5 kali. Peluang muncul mata dadu dengan jumlah 27 adalah ...
Jumlah 27 untuk 5 dadu = jumlah dadu (7×5 - 27) = jumlah dadu 8
(8-1)C(5-1)/6⁵
= 7C4/6⁵
= 35/6⁵

Sebuah Kotak memuat tepat enam keping, empat merah dan dua putih. Dari keping-keping ini secara acak diambil satu persatu tanpa pengembalian hingga semua keping merah terambil atau semua keping putih terambil. Peluang bahwa dua keping terambil berurutan adalah ....
A. 3/15
B. 4/15
C. 6/15
D. 7/15
E. 8/15
Banyaknya kemungkinan = 6!/4!2! = 15
15 kemungkinan tersebut adalah :
PPMMMM
MPPMMM
MMPPMM
MMMPPM
MMMMPP

PMPMMM
MPMPMM
MMPMPM
MMMPMP
PMMPMM
MPMMPM
MMPMMP
PMMMPM
MPMMMP
PMMMMP
Jadi peluangnya adalah 6/15 (C)

Dalam sebuah kotak terdapat 20 kelereng, 8 diantaranya berwarna merah, 7 berwarna putih, dan yang lainnya berwarna hijau. Diambil dua kelereng sekaligus. Peluang terambilnya kedua kelereng berbeda warna adalah ...
a. 131/400
b. 131/300
c. 131/190
d. 131/150
e. 131/100
(8C1×7C1 + 8C1×5C1 + 7C1×5C1)/20C2
(8×7 + 8×5 + 7×5)/20C2
= (56 + 40 + 35)/190
= 131/190 (C)

Suatu tes singkat terdiri dari empat soal pilihan B atau S dan empat soal pilihan ganda dengan empat pilihan. Seseorang menjawab semua soal dengan memilih jawaban secara acak. Peluang ia menjawab hanya benar satu soal adalah ...
a. 28/256
b. 27/256
c. 23/256
d. 16/256
e. 14/256
Peluang pilihan B atau S benar = ½
Peluang pilihan B atau S salah = ½
Peluang pilihan ganda benar = ¼
Peluang pilihan ganda salah = ¾

Kasus pertama
Soal pilihan B atau S yg benar
Karena ada 4 soal, jika BS benar 1, maka 3nya salah dan 4 soal pilgan salah
BS benar 1, pilgan salah semua
4×(½)×(½)³×(¾)⁴ = 81/1024

Kasus kedua
Soal pilihan ganda yg benar
Karena ada 4 soal, jika pilgan benar 1, maka 3nya salah dan 4 soal BS salah
Pilgan benar 1, BS salah semua
4×(½)⁴×(¼)×(¾)³ = 27/1024

Jumlahnya = 81/1024 + 27/1024 = 108/1024 = 27/256 (B)

43. Menggunakan kaidah pencacahan untuk menyelesaikan masalah peluang kejadian

Ada sebanyak 6! Permutasi dari kata “UNIMED”. Jika kata-kata tersebut diurutkan secara alphabet, maka kata UNIMED terletak pada urutan ke ....
A. 708
B. 710
C. 712
D. 713
E. 714
UNIMED jika diurutkan berdasarkan alfabet maka susunannya adalah D, E, I, M, N, U
UNIMED berada pada 5×5! + 4×4! + 2×3! + 2×2! + 2
= 5×120 + 4×24 + 2×6 + 2×2 + 2
= 600 + 96 + 12 + 4 + 2
= 714 (E)

2 komentar:

Unknown mengatakan...

Terimakasih pak, sangat membantu

Nofrizon mengatakan...

terima kasih pak ardi. membantu sekali

Posting Komentar

TERIMAKASIH ATAS KUNJUNGANNYA