Logika Matematika

Kalimat dan Pernyataan • Tabel Kebenaran • Tautologi dan Kontradiksi • Aljabar Proposisi • Argumen • Pembuktian Bersyarat

11. Menggunakan kaidah logika matematika dalam penarikan simpulan

Jika adik libur sekolah maka ibu memasak sendiri.
Jika Ayah tidak pergi kerja maka ibu tidak memasak sendiri.
Berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut, simpulan yang sah adalah ....

Misal : p = Adik libur, q = Ibu memasak sendiri dan r = Ayah pergi kerja
1. Jika adik libur sekolah maka ibu memasak sendiri = p ⇒ q
2. Jika Ayah tidak pergi kerja maka ibu tidak memasak sendiri = ~r ⇒ ~q
Pernyataan kedua ekuivalen dengan Jika ibu memasak sendiri maka Ayah pergi kerja = q ⇒ r
Dari kedua pernyataan dapat disimpulkan dengan menggunakan modus silogisme yaitu
1. p ⇒ q
2.q ⇒ r
∴ p ⇒ r
Jadi kesimpulannya adalah :
Jika Adik libur sekolah maka Ayah pergi kerja
Adik tidak libur sekolah atau Ayah pergi kerja
Jika Ayah tidak pergi kerja maka Adik tidak libur sekolah
Ayah pergi kerja atau Adik tidak libur sekolah

Jika adik sekolah maka ibu memasak sendiri.
Jika ibu memasak sendiri maka nenek senang.
Berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut, simpulan yang sah adalah ....
A. Nenek senang atau adik tidak sekolah
B. Nenek senang atau adik sekolah
C. Ibu tidak memasak sendiri dan nenek tidak senang
D. Adik tidak sekolah dan ibu memasak sendiri
E. Ibu memasak sendiri dan adik sekolah

p = adik sekolah
q = ibu memasak sendiri
r = nenek senang

1. p ⇒ q
2. q ⇒ r
Kesimpulan p ⇒ r = ~p v r = r v ~p
A. Nenek senang atau adik tidak sekolah

Jika ibu senang maka ayah memasak sendiri.
Jika ayah memasak sendiri maka bibi senang.
Berdasarkan pernyataan-pernyataan tersebut, simpulan yang sah adalah ...
a. Jika ayah tidak memasak sendiri, maka bibi tidak senang
b. Jika ayah tidak memasak sendiri, maka ibu tidak senang
c. Jika ayah tidak memasak sendiri, maka ibu dan bibi tidak senang
d. Jika ibu tidak senang, maka bibi tidak senang
e. Jika bibi tidak senang, maka ibu tidak senang

Jika Ibu senang maka ayah memasak sendiri
Jika ayah memasak sendiri maka bibi senang

p : ibu senang
q : ayah memasak sendiri
r : bibi senang

1. p ⇒ q
2. q ⇒ r
K. p ⇒ r ≡ ~r ⇒ ~p
Kesimpulan : Jika ibu senang maka bibi senang
E. Jika bibi tidak senang maka ibu tidak senang

Diketahui premis (p ⇒ ~q) ⇒ (~r ∨ ~s) dan (~q ∨ ~p). Penarikan kesimpulan yang sahih adalah ....

1. (p ⇒ ~q) ⇒ (~r ∨ ~s)
2. (~q ∨ ~p)
3. q ⇒ ~p ...... 2, Silogisme Disjungsi
4. p ⇒ ~q ...... 3, Kontraposisi
5. ~r ∨ ~s ...... 1,4 Modus Ponens
6. r ⇒ ~s ...... 5, Silogisme Disjungsi

Simpulan dari dua premis berikut :(~a ⇒ b) -> (~c ⇒ ~d) dan d ∧ ~c adalah ...
A. a ⇒ ~b
B. ~b ⇒ a
C. a ∧ ~b
D. ~b ∧ ~a

1. (~a ⇒ b) -> (~c ⇒ ~d)
2. d ∧ ~c
3. ~(d ⇒ c) ... 2. Ingkaran
4. ~(~c ⇒ ~d) ... 3. kontraposisi
5. ~(~a ⇒ b) ... 1,4. MT
6. ~a ∧ ~b ... 5. ingkaran
7. ~b ∧ ~a ... 6, komutatif
D. ~b ∧ ~a

Simpulan dari dua premis berikut : (~a ⇒ b) -> (~c ⇒ ~d) dan b ∨ a adalah ...
A. ~c ⇒ d
B. c ∨ ~d
C. ~d ⇒ c
D. ~c ∧ d

1. (~a ⇒ b) -> (~c ⇒ ~d)
2. b ∨ a
3. ~b ⇒ a ... 2. SD
4. ~a ⇒ b ... 3. kontraposisi
5. ~c ⇒ ~d ... 1,4. MP
6. c ∨ ~d ... 5. SD
B. c ∨ ~d

36. Menggunakan nilai kebenaran logika matematika untuk menyelesaikan masalah

Nilai-nilai pernyataan p, q, dan r agar pernyataan p ⇒ (q v r) bernilai salah adalah ....
A. p benar, q benar, dan r benar
B. p salah, q salah, dan r salah
C. p salah, q benar, dan r salah
D. p benar, q salah, dan r salah
E. p salah, q salah, dan r benar

INGAT : Implikasi a ⇒ b akan bernilai salah jika a benar dan b salah .
Disjungsi q v r akan bernilai salah jika q salah dan r salah
Agar p ⇒ (q v r) bernilai salah maka p harus benar dan (q v r) bernilai salah dengan kata lain, q salah, dan r salah
D. p benar, q salah, dan r salah

Nilai pernyataan p, q, r agar pernyataan (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ~r) salah adalah ....
A. p salah, q salah dan r salah
B. p salah, q benar dan r salah
C. p salah, q benar dan r benar
D. p benar, q benar dan r salah
E. p benar, q salah dan r benar

INGAT : Konjungsi a ∧ b akan bernilai salah jika minimal salah satu pernyataan a atau b salah
Implikasi a ⇒ b akan bernilai salah jika a benar dan b salah .

Agar (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ~r) bernilai salah maka (p ⇒ q) harus salah dan (p ⇒ ~r) bernilai salah dengan kata lain, p benar, q salah, dan ~r salah atau r benar
E. p benar, q salah, dan r benar

Pernyataan ~r ⇒ (~p ⇒ q) bernilai salah. Nilai kebenaran p, q dan r adalah ...

INGAT : Implikasi a ⇒ b akan bernilai salah jika a benar dan b salah
~r haruslah benar, maka r salah
(~p -> q) haruslah salah, maka ~p benar dan q salah
Jadi nilai kebenarannya p salah, q salah dan r salah

Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan (𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ 𝑞 pada tabel berikut adalah ....
A. SSSS
B. BSBB
C. BBSS
D. SSBB
E. BBBS

untuk nilai p benar, q benar maka (B ∨ B) ⇔ B = B ⇔ B = B
untuk nilai p benar, q salah maka (B ∨ S) ⇔ S = B ⇔ S = S
untuk nilai p salah, q benar maka (S ∨ B) ⇔ B = B ⇔ B = B
untuk nilai p salah, q salah maka (S ∨ S) ⇔ S = S ⇔ S = B
Jadi, nilai kebenaran yang tepat adalah BSBB

Pernyataan (p ∧ q) ⇒ r bernilai salah jika ...
A. p salah, q salah dan r benar
B. p benar, q salah dan r benar
C. p salah, q salah dan r salah
D. p benar, q salah dan r salah
E. p benar, q benar dan r salah

INGAT : Implikasi a ⇒ b akan bernilai salah jika a benar dan b salah
Konjungsi a ∧ b akan bernilai benar jika a benar dan b benar

Agar (p ∧ q) ⇒ r bernilai salah maka (p ∧ q) harus benar dan r salah, dengan demikian haruslah
E. p benar, q benar dan r salah

Pernyataan yang ekuivalen dengan "Jika a anggota A maka a bukan anggota B" adalah ....
A. Jika a bukan anggota A maka a anggota B
B. Jika a bukan anggota B maka a anggota A
C. a anggota A dan a bukan anggota B
D. a bukan anggota A atau a bukan anggota B
E. a anggota A atau a bukan anggota B

Sebuah implikasi p ⇒ q akan ekuivalen dengan kontraposisinya : ~q ⇒ ~p
Selain itu, implikasi p ⇒ q juga ekuivalen dengan ~p v q
Misal : p = a anggota A dan q = a bukan anggota B, maka pernyataan tersebut ekuivalen dengan
D. a bukan anggota A atau a bukan anggota B

Negasi dari pernyataan "Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah ....
A. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
B. Matematika mengasyikkan atau membosankan
C. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
E. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan

Negasi dari (a ∨ b) adalah (~a ∧ ~b)
Maka negasi dari Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan adalah Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan (E)

37. Menggunakan nilai kebenaran pernyataan berkuantor untuk menyelesaikan masalah

51. Menggunakan tautologi atau kontradiksi untuk menyelesaikan masalah

[(p → q) ∧ p] ⇒ q bernilai benar jika:
(i) p benar dan q benar
(ii) p benar dan q salah
(iii) p salah dan q benar
(iv) p salah dan q salah
Pernyataan yg benar adalah ...
A. (i), (ii), (iii)
B. (i), (iii)
C. (ii), (iv)
D. (iv)
E. (i), (ii), (iii), (iv)

Karena pernyataan ini Tautologi dan merupakan bentuk dari Modus Ponens, maka semua pernyataan benar
E. (i), (ii), (iii), (iv)