ARDI KUSNADI

Teori Bilangan

Keterbagian • Faktor Bilangan • Kelipatan Bilangan • Bilangan Prima • Kongruensi Modulo

23. Menggunakan faktorisasi bilangan untuk menyelesaikan masalah

FPB(1222,2021) = d
d = 1222m + 2021n
Maka m + n = ?!
2021 = 1222.1 + 799
1222 = 799.1 + 423
799 = 423.1 + 376
423 = 376.1 + 47
376 = 47.8 + 0

47 = 423 - 376
47 = 423 - (799 - 423)
47 = 423.2 - 799
47 = (1222 - 799).2 - 799
47 = 1222.2 - 799.3
47 = 1222.2 - (2021-1222).3
47 = 1222.5 - 2021.3
47 = 1222.5 + 2021.(-3)

m = 5
n = -3
m + n = 2

39. Menggunakan sifat kongruensi modulo untuk menyelesaikan masalah

Tentukan nilai n terkecil untuk 7²¹²³ = n (mod 11)
7¹⁰ = 1 mod 11
Sehingga yg perlu dicari cuma 7²¹²³ = 7³ mod 11
7³ = 2 mod 11

INI CARA PANJANGNYA
7¹ = 7 mod 11
7² = 49 mod 11 = 5 mod 11
7³ = 35 mod 11 = 2 mod 11
7⁴ = 14 mod 11 = 3 mod 11
7⁵ = 21 mod 11 = 10 mod 11
7⁶ = 70 mod 11 = 4 mod 11
7⁷ = 28 mod 11 = 6 mod 11
7⁸ = 42 mod 11 = 9 mod 11
7⁹ = 63 mod 11 = 8 mod 11
7¹⁰ = 56 mod 11 = 1 mod 11
7¹¹ = 7 mod 11 dan terus berulang setiap kelipatan 10

Nah jika 7²¹²³ dituliskan berulang terus maka dapatlah 2123 = 10 × 212 + 3
Jadi akan sama dgn 7³ = 2 mod 11

Jika bilangan bulat x dan y memenuhi kongruensi 3x ≅ 5 mod 11, 2y ≅ 7 mod 11, maka x + y, kongruensi modulo 11 sama dengan ....
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
E. 13
3x ≅ 5 mod 11
3x ≅ 27 mod 11
x ≅ 9 mod 11

2y ≅ 7 mod 11
2y ≅ 18 mod 11
y ≅ 9 mod 11

maka x + y ≅ (9 + 9) mod 11
x + y ≅ 18 mod 11
x + y ≅ 7 mod 11 (B)

Bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi 13²⁰¹⁷ ≡ n (mod 11) adalah ...
a. 3 b. 4 c. 6 d. 7 e. 9
13²⁰¹⁷ ≡ n (mod 11)
INGAT : 13¹⁰ ≡ 1 (mod 11)
13²⁰¹⁷ ≡ 13⁷ (mod 11)
13²⁰¹⁷ ≡ 2⁷ (mod 11)
13²⁰¹⁷ ≡ 128 (mod 11)
13²⁰¹⁷ ≡ 7 (mod 11) (D)

Jika bilangan x dan y memenuhi kongruensi :
2x ≡ 5 (mod 11)
5y ≡ 7 (mod 11)
maka xy kongruen modulo 11 dengan ...
CARA 1
2x ≡ 5 (mod 11); 5y ≡ 7 (mod 11)
10xy ≡ 35 (mod 11)
Karena 10 tidak membagi 35, maka diganti nilai 35 sehingga 10|(35 + k.11)
Jadi 10|(35 + 5.11) atau 10|90
10xy ≡ 90 (mod 11)
xy ≡ 9 (mod 11)

CARA 2
2x ≡ 5 mod 11
2x ≡ 16 mod 11
x ≡ 8 mod 11

5y ≡ 7 mod 11
5y ≡ 40 mod 11
y ≡ 8 mod 11

maka xy ≡ (8.8) mod 11
xy ≡ 64 mod 11
xy ≡ 9 mod 11

Jika bilangan x dan y memenuhi kongruensi :
2x ≡ 5 (mod 13)
3y ≡ 7 (mod 13)
maka xy kongruen modulo 13 dengan ...
a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10
CARA 1
2x ≡ 5 (mod 13); 3y ≡ 7 (mod 13)
6xy ≡ 35 (mod 13)
6xy ≡ 48 (mod 13)
xy ≡ 8 (mod 13) (D)

CARA 2
2x ≡ 5 mod 13
2x ≡ 18 mod 13
x ≡ 9 mod 13

3y ≡ 7 mod 13
3y ≡ 33 mod 13
y ≡ 11 mod 13

maka xy ≡ (9.11) mod 13
xy ≡ 99 mod 13
xy ≡ 8 mod 13 (D)

40. Menggunakan sifat-sifat keterbagian bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah

Jika A, B, C, D merupakan bil.asli. jika C > D dan ABC - BAD = CDB. Tentukan AB - CD = ...
(100A + 10B + C) - (100B + 10A + D) = 100C + 10D + B
90A - 90B + C - D = 100C + 10D + B

Utk C > D, dan C - D = B
90A - 90B + B = 100C + 10D + B 90(A - B) = 10(10C + D)
9(A - B) = 10C + D

AB - CD = (10A + B) - (10C + D)
(10A + B) - (9A - 9B)
A + 10B = BA

Jika C = 1, maka D = 8, TM
C = 2, D = 7, TM
C = 3, D = 6, TM
C = 4, D = 5, TM
C = 5, D = 4, B = 5 - 4 = 1, A = 7,
Maka AB - CD = 71 - 54 = 17
C = 6, D = 3, B = 6 - 3 = 3, A = 10, TM
C = 7, D = 2, B = 7 - 2 = 5, A = 13, TM
C = 8, D = 1, B = 8 - 1 = 7, A = 16, TM

Jumlah dari digit-digit 23456 adalah 20. Jika N adalah bilangan terkecil yang jumlah digit-digitnya 2019, maka jumlah dari digit N + 7 adalah ....
A. 1
B. 10
C. 224
D. 225
E. 2027
2019/9 = 224 sisa 3, maka N = 399...999 dgn 9 sebanyak 224 buah
N+1 = 400....000 dgn 0 sebanyak 224 buah
N+7 = 400..006 dgn 0 sebanyak 223 buah
Jumlah dari digit-digit N+7 adalah 4+0+0+0+...+6 = 10 (B)

46. Menggunakan konsep terkait bilangan prima untuk menyelesaikan masalah

Nilai terbesar k sehingga 15ᵏ | 100 ! adalah ....
A. 20
B. 24
C. 30
D. 33
E. 45
Perhatikan bahwa : 15ᵏ = (3 × 5)ᵏ = 3ᵏ × 5ᵏ
Kita akan mencari banyak faktor 3 pada bilangan 100!

Banyak faktor 3 pada bilangan 100! dinyatakan oleh
⌊100/3⌋ + ⌊100/9⌋ + ⌊100/27⌋ + ⌊100/81⌋
= 33 + 11 + 3 + 1 = 48

Selanjutnya kita akan mencari banyaknya faktor 5 pada bilangan 100! yaitu
⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋
= 20 + 4 = 24

Jadi, disimpulkan bahwa 100! memuat faktor berikut.
3⁴⁸.5²⁴ = 3²⁴.3²⁴.5²⁴
= 3²⁴.(3 × 5)²⁴
= 3²⁴.15²⁴

Jadi bilangan bulat positif terbesar k sehingga 15ᵏ membagi 100! adalah 24 (B)

Banyak bilangan prima dua angka yang selisih angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah ....
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12
Bilangan prima dua angka yang selisih angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah bilangan prima dua angka dengan puluhan genap dan satuannya ganjil
Maka ada 9 bilangan yang memenuhi yaitu 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89 (B)

Banyak bilangan 3 digit yang dapat terbentuk dengan faktor primanya 2, 5 dan 13 adalah ...
2×5×13 = 130

Bilangan tiga digit minimum adalah 100 dan maksimum adalah 999
100/130 = 0,...
999/130 = 7,...
Bilangan asli yg berada diantara 0,... sampai 7,.... dan dapat dibentuk dgn faktor prima 2, 5 atau 13 adalah 1, 2, 4, 5
Jadi, ad 4 bilangan

Banyak segitiga yg dapat dibentuk dengan panjang sisi merupakan faktor dari 663 adalah ...
663 = 3×13×17
Segitiga dengan sisi-sisi 3, 13 dan 17 adalah sebagai berikut :
6 segitiga sudah pasti dapat terbentuk yaitu
- 3 Segitiga sama sisi dengan sisi 3,3,3; 13,13,13; dan 17,17,17
- 3 Segitiga sama kaki dengan sisi 3,13,13; 3,17,17; dan 13,17,17

sisa kemungkinan adalah 4 segitiga lain yang dapat terbentuk yaitu
- 3 segitiga sama kaki dengan sisi 3,3,13; 3,3,7; dan 7,7,13
- 1 segitiga sembarang dengan sisi 3,13,17
dari keempat segitiga tersebut yang bisa hanya 1 yaitu dengan sisi 7,7,13
Jadi, segitiga yg dapat dibentuk dgn sisi² 3,13,17 ada 7

Jika p dan q masing-masing adalah bilangan-bilangan prima yang pangkatnya tertinggi dan terendah dari faktor bilangan X = 2! ⨯ 3! ⨯ 5! ⨯ 7! ⨯ 11!, maka nilai p ⨯ q sama dengan ...
a. 33 b. 22 c. 21 d. 15 e. 14
Bilangan prima yang memiliki pangkat tertinggi (p) adalah 2 dan pangkat terendah (q) = 11
maka p × q = 22 (B)

Banyak bilangan prima dua angka yang hasil kali angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah ...
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14
Bilangan prima dua angka yang hasil kali angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah bilangan prima yang puluhan dan satuannya ganjil yaitu 11, 13, 17, 19, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 97
Jadi ada 12 buah (C)

Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang salah satu faktor sejatinya habis membagi 1515 adalah ...
a. 46 b. 50 c. 52 d. 58 e. 61
1515 = 3×5×101
Bilangan asli terbesar yang kurang dari 100 adalah 99
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang membagi 3
= ⌊99/3⌋ = 33
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang membagi 5
= ⌊99/5⌋ = 19
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang membagi 3 dan membagi 5
= ⌊99/5⌋ = 6
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang salah satu faktor sejatinya habis membagi 1515 adalah
[99/3] + [99/5] - [99/15] = 33 + 19 - 6 = 46

48. Menggunakan konsep kelipatan persekutuan untuk menyelesaikan masalah

Banyaknya pasangan bilangan asli n dan bilangan bulat b sehingga bn - n + b - 16 = 0 adalah ...
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
bn - n + b - 16 = 0
bn - n + b - 1 = 15
(b - 1)(n + 1) = 15

1 × 15
b = 2, n = 14
b = 16, n = 0 (TM)

3 × 5
b = 4, n = 4
b = 6, n = 2

-1 × -15
b = 0, n = -16 (TM)
b = -14, n -2 (TM)

-3 × -5
b = -2, n = -6 (TM)
b = -4, n = -4 (TM)

Jadi terdapat C. 3 pasang

2 komentar:

RUMAH BELAJAR mengatakan...

Terima kasih banyak pakn

Zainul Chusna mengatakan...

Terimakasih pak, selalu memberi manfaat

Posting Komentar

TERIMAKASIH ATAS KUNJUNGANNYA