39. Menggunakan sifat kongruensi modulo untuk menyelesaikan masalah
Tentukan nilai n terkecil untuk 7²¹²³ = n (mod 11)
7¹⁰ = 1 mod 11
Sehingga yg perlu dicari cuma 7²¹²³ = 7³ mod 11
7³ = 2 mod 11
INI CARA PANJANGNYA
7¹ = 7 mod 11
7² = 49 mod 11 = 5 mod 11
7³ = 35 mod 11 = 2 mod 11
7⁴ = 14 mod 11 = 3 mod 11
7⁵ = 21 mod 11 = 10 mod 11
7⁶ = 70 mod 11 = 4 mod 11
7⁷ = 28 mod 11 = 6 mod 11
7⁸ = 42 mod 11 = 9 mod 11
7⁹ = 63 mod 11 = 8 mod 11
7¹⁰ = 56 mod 11 = 1 mod 11
7¹¹ = 7 mod 11 dan terus berulang setiap kelipatan 10
Nah jika 7²¹²³ dituliskan berulang terus maka dapatlah 2123 = 10 × 212 + 3
Jadi akan sama dgn 7³ = 2 mod 11
Jika bilangan bulat x dan y memenuhi kongruensi 3x ≅ 5 mod 11, 2y ≅ 7 mod 11, maka x + y, kongruensi modulo 11 sama dengan ....
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
E. 13
3x ≅ 5 mod 11
3x ≅ 27 mod 11
x ≅ 9 mod 11
2y ≅ 7 mod 11
2y ≅ 18 mod 11
y ≅ 9 mod 11
maka x + y ≅ (9 + 9) mod 11
x + y ≅ 18 mod 11
x + y ≅ 7 mod 11 (B)
Bilangan bulat positif terkecil n yang memenuhi 13²⁰¹⁷ ≡ n (mod 11) adalah ...
a. 3 b. 4 c. 6 d. 7 e. 9
maka xy ≡ (9.11) mod 13
xy ≡ 99 mod 13
xy ≡ 8 mod 13 (D)
40. Menggunakan sifat-sifat keterbagian bilangan bulat untuk menyelesaikan masalah
Jika A, B, C, D merupakan bil.asli. jika C > D dan ABC - BAD = CDB. Tentukan AB - CD = ...
(100A + 10B + C) - (100B + 10A + D) = 100C + 10D + B
90A - 90B + C - D = 100C + 10D + B
Utk C > D, dan C - D = B
90A - 90B + B = 100C + 10D + B
90(A - B) = 10(10C + D)
9(A - B) = 10C + D
AB - CD = (10A + B) - (10C + D)
(10A + B) - (9A - 9B)
A + 10B = BA
Jika C = 1, maka D = 8, TM
C = 2, D = 7, TM
C = 3, D = 6, TM
C = 4, D = 5, TM C = 5, D = 4, B = 5 - 4 = 1, A = 7,
Maka AB - CD = 71 - 54 = 17
C = 6, D = 3, B = 6 - 3 = 3, A = 10, TM
C = 7, D = 2, B = 7 - 2 = 5, A = 13, TM
C = 8, D = 1, B = 8 - 1 = 7, A = 16, TM
Jumlah dari digit-digit 23456 adalah 20. Jika N adalah bilangan terkecil yang jumlah digit-digitnya 2019, maka jumlah dari digit N + 7 adalah ....
A. 1
B. 10
C. 224
D. 225
E. 2027
2019/9 = 224 sisa 3, maka N = 399...999 dgn 9 sebanyak 224 buah
N+1 = 400....000 dgn 0 sebanyak 224 buah
N+7 = 400..006 dgn 0 sebanyak 223 buah
Jumlah dari digit-digit N+7 adalah 4+0+0+0+...+6 = 10 (B)
46. Menggunakan konsep terkait bilangan prima untuk menyelesaikan masalah
Nilai terbesar k sehingga 15ᵏ | 100 ! adalah ....
A. 20
B. 24
C. 30
D. 33
E. 45
Perhatikan bahwa : 15ᵏ = (3 × 5)ᵏ = 3ᵏ × 5ᵏ
Kita akan mencari banyak faktor 3 pada bilangan 100!
Banyak faktor 3 pada bilangan 100! dinyatakan oleh
⌊100/3⌋ + ⌊100/9⌋ + ⌊100/27⌋ + ⌊100/81⌋
= 33 + 11 + 3 + 1 = 48
Selanjutnya kita akan mencari banyaknya faktor 5 pada bilangan 100! yaitu
⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋
= 20 + 4 = 24
Jadi bilangan bulat positif terbesar k sehingga 15ᵏ membagi 100! adalah 24 (B)
Banyak bilangan prima dua angka yang selisih angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah ....
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12
Bilangan prima dua angka yang selisih angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah bilangan prima dua angka dengan puluhan genap dan satuannya ganjil
Maka ada 9 bilangan yang memenuhi yaitu 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89 (B)
Banyak bilangan 3 digit yang dapat terbentuk dengan faktor primanya 2, 5 dan 13 adalah ...
2×5×13 = 130
Bilangan tiga digit minimum adalah 100 dan maksimum adalah 999
100/130 = 0,...
999/130 = 7,...
Bilangan asli yg berada diantara 0,... sampai 7,.... dan dapat dibentuk dgn faktor prima 2, 5 atau 13 adalah 1, 2, 4, 5
Jadi, ad 4 bilangan
Banyak segitiga yg dapat dibentuk dengan panjang sisi merupakan faktor dari 663 adalah ...
663 = 3×13×17
Segitiga dengan sisi-sisi 3, 13 dan 17 adalah sebagai berikut :
6 segitiga sudah pasti dapat terbentuk yaitu
- 3 Segitiga sama sisi dengan sisi 3,3,3; 13,13,13; dan 17,17,17
- 3 Segitiga sama kaki dengan sisi 3,13,13; 3,17,17; dan 13,17,17
sisa kemungkinan adalah 4 segitiga lain yang dapat terbentuk yaitu
- 3 segitiga sama kaki dengan sisi 3,3,13; 3,3,7; dan 7,7,13
- 1 segitiga sembarang dengan sisi 3,13,17
dari keempat segitiga tersebut yang bisa hanya 1 yaitu dengan sisi 7,7,13
Jadi, segitiga yg dapat dibentuk dgn sisi² 3,13,17 ada 7
Jika p dan q masing-masing adalah bilangan-bilangan prima yang pangkatnya tertinggi dan terendah dari faktor bilangan X = 2! ⨯ 3! ⨯ 5! ⨯ 7! ⨯ 11!, maka nilai p ⨯ q sama dengan ...
a. 33 b. 22 c. 21 d. 15 e. 14
Bilangan prima yang memiliki pangkat tertinggi (p) adalah 2 dan pangkat terendah (q) = 11
maka p × q = 22 (B)
Banyak bilangan prima dua angka yang hasil kali angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah ...
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14
Bilangan prima dua angka yang hasil kali angka-angka penyusunnya merupakan bilangan ganjil adalah bilangan prima yang puluhan dan satuannya ganjil yaitu 11, 13, 17, 19, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 97 Jadi ada 12 buah (C)
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang salah satu faktor sejatinya habis membagi 1515 adalah ...
a. 46 b. 50 c. 52 d. 58 e. 61
1515 = 3×5×101
Bilangan asli terbesar yang kurang dari 100 adalah 99
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang membagi 3 = ⌊99/3⌋ = 33
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang membagi 5 = ⌊99/5⌋ = 19
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang membagi 3 dan membagi 5 = ⌊99/5⌋ = 6
Banyak bilangan asli kurang dari 100 yang salah satu faktor sejatinya habis membagi 1515 adalah
[99/3] + [99/5] - [99/15] = 33 + 19 - 6 = 46
48. Menggunakan konsep kelipatan persekutuan untuk menyelesaikan masalah
Banyaknya pasangan bilangan asli n dan bilangan bulat b sehingga bn - n + b - 16 = 0 adalah ...
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
bn - n + b - 16 = 0
bn - n + b - 1 = 15
(b - 1)(n + 1) = 15
2 komentar:
Terima kasih banyak pakn
Terimakasih pak, selalu memberi manfaat
Posting Komentar