Sumbu Afinitas adalah garis perpotongan antara bidang pengiris dengan bidang alas atau bidang atas bangun ruang. Sumbu Afinitas digunakan sebagai patokan untuk menarik garis-garis bidang irisan lainnya di dalam bangun ruang itu. Untuk memudahkan dalam Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas ini, ada beberapa aksioma (aksioma = pernyataan-pernyataan sederhana) yang kita libatkan yaitu :
(a). Garis dapat dibuat melalui dua titik,
(b). Garis dapat diperpanjang pada kedua ujungnya,
(c). Bidang dapat diperluas.
Dengan menggunakan ketiga aksioma di atas, maka kita akan mampu Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas. Perhatikan gambar ilustrasi berikut yang merupakan contoh penggunaan sumbu afinitas dalam melukis bidang irisan pada bangun ruang.
Contoh soal Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas :
1). Perhatikan gambar limas di bawah ini. Tentukan bidang irisan yg melalui titik K, L, dan M.
Penyelesaian :
Langkah (1). Dari ketiga titik K, L, dan M, yang sebidang adalah titik L dan M (terletak di bidang alas). Hubungkan titik L dan M sehingga membentuk garis dan perpanjanglah.
Langkah (2). Perpanjang rusuk DC dan DA sehingga berpotongan dengan garis langkah 1 di titik P dan Q.
Langkah (3). Titik P dan K sebidang (terletak pada bidang belakang limas TDC yang diperluas). Hubungkan titik P dan K, lalu diperpanjang sehingga memotong
rusuk TD di titik R.
Langkah (4). Titik R dan Q sebidang (terletak pada bidang kiri limas TAD yang diperluas). Hubungkan titik R dan Q, lalu diperpanjang sehingga memotong
rusuk TA di titik S.
*). Dengan menghubungkan titik-titik M-K-R-S-L-M akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik K, L, dan M seperti gambar berikut ini.
Garis yang melalui titik P, L, M, dan Q disebut sebagai sumbu afinitas dan bidang MKRSL adalah bidang irisannya.
2). Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!
Penyelesaian :
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q dan R.
*). Langkah-langkah melukis bidang irisan dengan sumbu afinitasnya :
-). Titik Q dan R sebidang, hubungkan titik Q dan R lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan titik Q dan R yaitu rusuk DC dan DH sehingga memotong garis perpanjangan QR di titik K dan L.
-). Titik K dan P terletak sebidang, hubungkan titik K dan P sehingga memotong rusuk BC di S, lalu perpanjang garis KP.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis KP yaitu rusuk DA sehingga memotong garis KP di titik M.
-). Titik L dan M terletak sebidang (bidang kiri ADHE yang diperluas), hubungkan titik L dan M sehingga memotong rusuk EH dan AE di T dan U.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-S-Q-R-T-U-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q,dan R seperti gambar di atas dan bidang PSQRTU adalah bidang irisannya (berbentuk segienam).
3). Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!
Penyelesaian :
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q dan R.
*). Langkah-langkah melukis bidang irisan dengan sumbu afinitasnya :
-). Titik P dan Q sebidang, hubungkan titik P dan Q lalu perpanjang garisnya.
(sebenarnya kita juga bisa memperpanjang garis QR, hanya pengerjaannya akan lebih sulit).
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PQ yaitu CB dan CD sehingga berpotongan dengan garis PQ di titik L dan K.
-). Titik K dan R sebidang (bidang belakang CDHG yang diperluas), hubungkan titik K dan R lalu diperpanjang sehingga memotong rusuk CG di S.
-). Titik L dan S sebidang (bidang kanan BCGF yang diperluas), hubungkan titik L dan S yang memotong rusuk BF di titik T.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-T-S-R-Q-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q,dan R seperti gambar di atas dan bidang PTSRQ adalah bidang irisannya (berbentuk segilima).
4). Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!
Penyelesaian :
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q dan R.
*). Langkah-langkah melukis bidang irisan dengan sumbu afinitasnya :
-). Titik P dan Q sebidang, hubungkan titik P dan Q lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PQ yaitu rusuk FB dan FE sehingga berpotongan dengan garis PQ di titik K dan L.
-). Titik K dan R sebidang (bidang kanan BCGF yang diperluas), hubungkan titik K dan R yang memotong rusuk BC di titik S dan perpanjang garis KR.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis KR yaitu rusuk FG sehingga berptongan dengan garis KR di titik M.
-). Titik L dan M sebidang (bidang atas EFGH yang diperluas), hubungkan titik L dan M yang memotong rusuk GH dan HE di titik T dan U.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-Q-S-R-T-U-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q,dan R seperti gambar di atas dan bidang PQSRTU adalah bidang irisannya (berbentuk segienam).
5). Lukislah bidang irisan limas T.ABCD yang melalui titik P, Q, dan R!
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q dan R.
*). Langkah-langkah melukis bidang irisan dengan sumbu afinitasnya :
-). Titik P dan Q sebidang, hubungkan titik P dan Q lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PQ yaitu rusuk AB sehingga berpotongan dengan garis PQ di titik K.
-). Titik P dan R sebidang, hubungkan titik P dan R lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PR yaitu rusuk AD sehingga berpotongan dengan garis PR di titik M.
-). Titik K dan M sebidang (bidang alas ABCD yang diperluas), hubungkan titik K dan M.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis KM yaitu rusuk BC sehingga berpotongan dengan garis KM di titik L.
-). Titik Q dan L sebidang (bidang TBC yang diperluas), hubungkan titik Q dan L sehingga berpotongan dengan rusuk TC di titik S.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-Q-S-R-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q,dan R seperti gambar di atas dan bidang PQSR adalah bidang irisannya (berbentuk segiempat).
6). Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik E, P, dan Q !
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik E, P, dan Q .
*). Langkah-langkah melukis bidang irisan dengan sumbu afinitasnya :
-). Titik E dan P sebidang, hubungkan titik E dan P lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis EP yaitu rusuk AB sehingga berpotongan dengan garis EP di titik K.
-). Titik E dan Q sebidang, hubungkan titik E dan Q lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis EQ yaitu rusuk AD sehingga berpotongan dengan garis EQ di titik L.
-). Titik K dan L sebidang (bidang alas ABCD yang diperluas), hubungkan titik K dan L.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis KL yaitu rusuk BC sehingga berpotongan dengan garis KL di titik M.
-). Titik P dan M sebidang (bidang BCGF yang diperluas), hubungkan titik P dan M sehingga berpotongan dengan rusuk CG di titik R.
-). Dengan menghubungkan titik-titik E-P-R-Q-E akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik E, P, dan Q seperti gambar di atas dan bidang EPRQ adalah bidang irisannya (berbentuk segiempat).
7). Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R. Dimana R pada perpanjangan DH dan Q pada bidang BCGF!
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q, dan R.
*). Langkah-langkah melukis bidang irisan dengan sumbu afinitasnya :
-). Titik P dan R sebidang, hubungkan titik P dan R yang memotong rusuk EH di titik S, lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PR yaitu rusuk DA sehingga berpotongan dengan garis PR di titik N.
-). Setelah kita cek lagi titik dan garis yang ada, ternyata tidak ada yang sebidang lagi. Untuk menlanjutkannya, kita proyeksikan titik Q pada rusuk BC yang hasilnya adalah titik Q'. Kita buat garis bantuan yaitu garis RQ dan garis DQ', lalu kita perpanjang keduanya sehingga berpotongan di titik L.
-). Titik N dan L sebidang (bidang alas ABCD yang diperluas), hubungkan titik N dan L lalu perpanjang.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis NL yaitu rusuk AB dan DC sehingga berpotongan dengan garis NL di titik M dan titik K.
-). Titik P dan M sebidang (bidang depan ABFE yang diperluas), hubungkan titik P dan M yang berpotongan dengan rusuk BF di titik T.
-). Titik R dan K sebidang (bidang belakang CDHG yang diperluas), hubungkan titik R dan K yang berpotongan dengan rusuk CG dan GH di titik U dan V.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-T-U-V-S-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q, dan R seperti gambar di atas dan bidang PTUVS adalah bidang irisannya (berbentuk segilima).
8). Lukislah bidang irisan limas T.ABCD yang melalui titik P, Q, dan R dengan titik Q pada bidang TCD!
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q, dan R.
*). Langkah-langkah melukis bidang irisan dengan sumbu afinitasnya :
-). Dari gambar dan letak titik P, Q, dan R, ternyata tidak ada yang sebidang. Kita proyeksikan titik Q pada rusuk CD yaitu Q'. Kita buat garis bantu PQ dan AQ' lalu perpanjang sehingga berpotongan di titik K.
-). Titik R dan K sebidang (bidang alas ABCD yang diperluas), hubungkan titik R dan K lalu diperpanjang sehingga memotong rusuk CD di S.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis RK yaitu rusuk AB yang berpotongan dengan garis RK di titik L.
-). Titik P dan L sebidang (bidang kiri TAB yang diperluas), hubungkan titik P dan L sehingga berpotongan dengan rusuk TB di titik V.
-). Titik S dan Q sebidang, hubungkan titik S dan Q lalu diperpanjang sehingga memotong rusuk TD di titik U.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-V-R-S-U-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q, dan R seperti gambar di atas dan bidang PVRSU adalah bidang irisannya (berbentuk segilima).
Demikian pembahasan materi Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas dan contoh-contohnya. Semoga bermanfaat.
(b). Garis dapat diperpanjang pada kedua ujungnya,
(c). Bidang dapat diperluas.
Dengan menggunakan ketiga aksioma di atas, maka kita akan mampu Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas. Perhatikan gambar ilustrasi berikut yang merupakan contoh penggunaan sumbu afinitas dalam melukis bidang irisan pada bangun ruang.
Langkah-langkah Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas
Perhatikan langkah-langkah Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas berikut ini :
(1). Gambarlah garis yang melalui dua titik yang sebidang pada bangun ruang.
(2). Perpanjang garis-garis (rusuknya) pada bidang alas atau bidang atas bangun ruang sehingga memotong garis pada langkah 1.
(3). Hubungkan dua titik baru pada bidang alas atau bidang atas yang terbentuk. Garis yang terbentuk pada langkah 3 ini adalah sumbu afinitasnya.
(4). Lengkapi gambar bidang irisannya.
(1). Gambarlah garis yang melalui dua titik yang sebidang pada bangun ruang.
(2). Perpanjang garis-garis (rusuknya) pada bidang alas atau bidang atas bangun ruang sehingga memotong garis pada langkah 1.
(3). Hubungkan dua titik baru pada bidang alas atau bidang atas yang terbentuk. Garis yang terbentuk pada langkah 3 ini adalah sumbu afinitasnya.
(4). Lengkapi gambar bidang irisannya.
Contoh soal Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas :
1). Perhatikan gambar limas di bawah ini. Tentukan bidang irisan yg melalui titik K, L, dan M.
Langkah (1). Dari ketiga titik K, L, dan M, yang sebidang adalah titik L dan M (terletak di bidang alas). Hubungkan titik L dan M sehingga membentuk garis dan perpanjanglah.
2). Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q dan R.
-). Titik Q dan R sebidang, hubungkan titik Q dan R lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan titik Q dan R yaitu rusuk DC dan DH sehingga memotong garis perpanjangan QR di titik K dan L.
-). Titik K dan P terletak sebidang, hubungkan titik K dan P sehingga memotong rusuk BC di S, lalu perpanjang garis KP.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis KP yaitu rusuk DA sehingga memotong garis KP di titik M.
-). Titik L dan M terletak sebidang (bidang kiri ADHE yang diperluas), hubungkan titik L dan M sehingga memotong rusuk EH dan AE di T dan U.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-S-Q-R-T-U-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q,dan R seperti gambar di atas dan bidang PSQRTU adalah bidang irisannya (berbentuk segienam).
3). Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q dan R.
-). Titik P dan Q sebidang, hubungkan titik P dan Q lalu perpanjang garisnya.
(sebenarnya kita juga bisa memperpanjang garis QR, hanya pengerjaannya akan lebih sulit).
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PQ yaitu CB dan CD sehingga berpotongan dengan garis PQ di titik L dan K.
-). Titik K dan R sebidang (bidang belakang CDHG yang diperluas), hubungkan titik K dan R lalu diperpanjang sehingga memotong rusuk CG di S.
-). Titik L dan S sebidang (bidang kanan BCGF yang diperluas), hubungkan titik L dan S yang memotong rusuk BF di titik T.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-T-S-R-Q-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q,dan R seperti gambar di atas dan bidang PTSRQ adalah bidang irisannya (berbentuk segilima).
4). Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!
*). Berikut adalah gambar bidang irisannya yang melalui titik P, Q dan R.
-). Titik P dan Q sebidang, hubungkan titik P dan Q lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PQ yaitu rusuk FB dan FE sehingga berpotongan dengan garis PQ di titik K dan L.
-). Titik K dan R sebidang (bidang kanan BCGF yang diperluas), hubungkan titik K dan R yang memotong rusuk BC di titik S dan perpanjang garis KR.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis KR yaitu rusuk FG sehingga berptongan dengan garis KR di titik M.
-). Titik L dan M sebidang (bidang atas EFGH yang diperluas), hubungkan titik L dan M yang memotong rusuk GH dan HE di titik T dan U.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-Q-S-R-T-U-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q,dan R seperti gambar di atas dan bidang PQSRTU adalah bidang irisannya (berbentuk segienam).
5). Lukislah bidang irisan limas T.ABCD yang melalui titik P, Q, dan R!
-). Titik P dan Q sebidang, hubungkan titik P dan Q lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PQ yaitu rusuk AB sehingga berpotongan dengan garis PQ di titik K.
-). Titik P dan R sebidang, hubungkan titik P dan R lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PR yaitu rusuk AD sehingga berpotongan dengan garis PR di titik M.
-). Titik K dan M sebidang (bidang alas ABCD yang diperluas), hubungkan titik K dan M.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis KM yaitu rusuk BC sehingga berpotongan dengan garis KM di titik L.
-). Titik Q dan L sebidang (bidang TBC yang diperluas), hubungkan titik Q dan L sehingga berpotongan dengan rusuk TC di titik S.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-Q-S-R-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q,dan R seperti gambar di atas dan bidang PQSR adalah bidang irisannya (berbentuk segiempat).
6). Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik E, P, dan Q !
-). Titik E dan P sebidang, hubungkan titik E dan P lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis EP yaitu rusuk AB sehingga berpotongan dengan garis EP di titik K.
-). Titik E dan Q sebidang, hubungkan titik E dan Q lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis EQ yaitu rusuk AD sehingga berpotongan dengan garis EQ di titik L.
-). Titik K dan L sebidang (bidang alas ABCD yang diperluas), hubungkan titik K dan L.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis KL yaitu rusuk BC sehingga berpotongan dengan garis KL di titik M.
-). Titik P dan M sebidang (bidang BCGF yang diperluas), hubungkan titik P dan M sehingga berpotongan dengan rusuk CG di titik R.
-). Dengan menghubungkan titik-titik E-P-R-Q-E akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik E, P, dan Q seperti gambar di atas dan bidang EPRQ adalah bidang irisannya (berbentuk segiempat).
7). Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R. Dimana R pada perpanjangan DH dan Q pada bidang BCGF!
-). Titik P dan R sebidang, hubungkan titik P dan R yang memotong rusuk EH di titik S, lalu perpanjang garisnya.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis PR yaitu rusuk DA sehingga berpotongan dengan garis PR di titik N.
-). Setelah kita cek lagi titik dan garis yang ada, ternyata tidak ada yang sebidang lagi. Untuk menlanjutkannya, kita proyeksikan titik Q pada rusuk BC yang hasilnya adalah titik Q'. Kita buat garis bantuan yaitu garis RQ dan garis DQ', lalu kita perpanjang keduanya sehingga berpotongan di titik L.
-). Titik N dan L sebidang (bidang alas ABCD yang diperluas), hubungkan titik N dan L lalu perpanjang.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis NL yaitu rusuk AB dan DC sehingga berpotongan dengan garis NL di titik M dan titik K.
-). Titik P dan M sebidang (bidang depan ABFE yang diperluas), hubungkan titik P dan M yang berpotongan dengan rusuk BF di titik T.
-). Titik R dan K sebidang (bidang belakang CDHG yang diperluas), hubungkan titik R dan K yang berpotongan dengan rusuk CG dan GH di titik U dan V.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-T-U-V-S-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q, dan R seperti gambar di atas dan bidang PTUVS adalah bidang irisannya (berbentuk segilima).
8). Lukislah bidang irisan limas T.ABCD yang melalui titik P, Q, dan R dengan titik Q pada bidang TCD!
-). Dari gambar dan letak titik P, Q, dan R, ternyata tidak ada yang sebidang. Kita proyeksikan titik Q pada rusuk CD yaitu Q'. Kita buat garis bantu PQ dan AQ' lalu perpanjang sehingga berpotongan di titik K.
-). Titik R dan K sebidang (bidang alas ABCD yang diperluas), hubungkan titik R dan K lalu diperpanjang sehingga memotong rusuk CD di S.
-). Perpanjang rusuk yang sebidang dengan garis RK yaitu rusuk AB yang berpotongan dengan garis RK di titik L.
-). Titik P dan L sebidang (bidang kiri TAB yang diperluas), hubungkan titik P dan L sehingga berpotongan dengan rusuk TB di titik V.
-). Titik S dan Q sebidang, hubungkan titik S dan Q lalu diperpanjang sehingga memotong rusuk TD di titik U.
-). Dengan menghubungkan titik-titik P-V-R-S-U-P akan kita peroleh bidang irisan yang melalui titik P, Q, dan R seperti gambar di atas dan bidang PVRSU adalah bidang irisannya (berbentuk segilima).
Demikian pembahasan materi Melukis Bidang Irisan dengan Sumbu Afinitas dan contoh-contohnya. Semoga bermanfaat.
sumber : https://www.konsep-matematika.com/2018/01/melukis-bidang-irisan-dengan-sumbu-afinitas.html
2 komentar:
Terimakasih pak ..sangat bagus dan menarik...tapi saya masih tertatih Ratih memahami..hehehe
Semoga bermanfaat bu Nurdiyah..
Posting Komentar