Suatu besaran yang hanya bisa mengambil nilai-nilai berbeda dinamakan variabel Sedangkan variabel diskrit adalah variabel yang diperoleh dari kegiatan membilang sehingga mempunyai nilai-nilai bulat.
Jika variabel diskrit tersebut diperoleh dari suatu eksperimen acak, maka dianamakan variabel diskrit acak
Sebagai contoh, pelantunan tiga buah uang logam dimana setiap uang logam berkemungkinan muncul angka (A) atau gambar (G)
Kegiatan ini memiliki ruang sampel S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, GGG}, sehingga n(S) = 8
Misalkan X adalah variabel yang menunjukkan banyaknya muncul angka
Maka :
X = 0 : {GGG}, maka n(X = 0) = 1 sehingga P(X = 0) = 1/8
X = 1 : {AGG, GAG, GGA}, maka n(X = 1) = 3 sehingga P(X = 1) = 3/8
X = 2 : {GAA, AGA, AAG}, maka n(X = 2) = 3 sehingga P(X = 2) = 3/8
X = 3 : {AAA} n(X = 3) = 1, maka sehingga P(X = 3) = 1/8
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
Tabel distribusi probabilitas haruslah mempunyai nilai total 1. Artinya jumlah distribusi peluang munculnya angka pada pelantunan tiga buah uang logam haruslah 1.
Dari tabel distribusi probabilitas diatas dapat dibuat fungsi distribusi probabilitas, yakni
Dari uraian diatas disimpulkan bahwa Suatu fungsi F(X) dikatakan fungsi distribusi probabilitas jika memenuhi syarat sebagai berikut:
(1) X1 , X2 , X3 , …, dan Xn adalah kejadian yang saling lepas
(2) P(X1) + P(X2) + P(X3) + …+ P(Xn) = 1
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya genap.
Jawab
Ruang sampel n(S) = 36
X = 2 : {(11)}, maka n(X = 2) = 1 sehingga P(X = 0) = 1/36
X = 4 : {(1,3),(3,1),(2,2)}, maka n(X = 4) = 3 sehingga P(X = 4) = 1/12
X = 6 : {(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}, maka n(X = 6) = 5 sehingga P(X = 6) = 5/36
X = 8 : {(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)}, maka n(X = 8) = 5 sehingga P(X = 8) = 5/36
X = 10: {(6,4),(4,6),(5,5)}, maka n(X = 10) = 3 sehingga P(X = 10) = 1/12
X = 12: {(6,6)}, maka n(X = 12) = 1 sehingga P(X = 12) = 1/36
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
02. Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya lebih dari 8.
Jawab
Misalkan X adalah variabel yang menunjukkan jumlah dua mata mata dadu yang menunjukkan nilai lebih dari 8, maka :
Ruang sampel n(S) = 36
X = 9 : {(45),(5,4),(6,3),(3,6)}, maka n(X = 9) = 4 sehingga P(X = 0) = 1/9
X = 10 : {(6,4),(4,6),(5,5)}, maka n(X = 10) = 3 sehingga P(X = 10) = 1/12
X = 11 : {(6,5),(5,6)}, maka n(X = 11) = 2 sehingga P(X = 11) = 1/18
X = 12 : {(6,6)}, maka n(X = 12) = 1 sehingga P(X = 12) = 1/36
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
Fungsi distribusi probabilitas, yakni
03. Sebuah kotak berisi 4 bola kuning, 2 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil tiga bola sekaligus dari dalam kotak tersebut, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang terambilnya bola putih.
Jawab
Misalkan X adalah variabel yang menunjukkan banyaknya terambil bola putih, maka
Fungsi distribusi probabilitas, yakni
Eksperimen binomial adalah suatu eksperimen yang memberi hanya dua hasil yang mungkin, yakni “sukses” dan “gagal”. (ditemukan oleh James Bernoulli)
Variabel acak X adalah jumlah total sukses dalam n kali percobaan.
Jika p adalah peluang sukses dan q adalah peluang gagal dalam setiap kali percobaan, maka berlaku:
p + q = 1
Dalam eksperimen binomial dengan peluang sukses sebesar p dan peluang gagal sebesar q = 1 – p untuk setiap percobaan, maka peluang x sukses dari n percobaan ulang dirumuskan:
Bentuk P(X = x) diatas merupakan fungsi distribusi binomial
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
05. Sebuah eksperimen melantunkan dua dadu serentak 5 kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga, maka tentukan peluang sukses 3 kali percobaan dalam eksperimen itu.
Jawab
Diketahui : n = 5
x = 3
maka A = {12, 21, 15, 51, 42, 24, 33, 36, 63, 45, 54, 66} n(A) = 12 dan n(S) = 36.
06. Suatu percobaan melantunkan 4 uang logam secara serentak. Jika percobaan itu diulangi sebanyak 5 kali, maka berapa peluang sukses munculnya tiga “gambar” sebanyak dua kali dalam percobaan itu ?
Jawab
Diketahui : n = 5 dan x = 2
maka A = {GGGA, GGAG, GAGG, AGGG} n(A) = 4 dan n(S) = 42 = 16
07. Sebuah tes terdiri dari 10 pertanyaan pilihan ganda dengan 4 pilihan jawaban. Sebagai suatu eksperimen, anda memilih jawaban secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang anda menjawab dengan benar 6 nomor ?
Jawab
Diketahui : n = 10 dan x = 6
Dalam eksperimen binomial dengan n kali percobaan ulang dimungkinkan untuk mengetahui peluang sukses paling banyak r kali atau paling sedikit r kali, dimana r ≤ n, dengan menggunakan rumus :
P(X ≤ r) = P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = r)
dan
P(X ≥ r) = P(X = r) + P(X = r+1) + … + P(X = n)
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
08. Salah satu tugas layanan pelanggan dari suatu perusahaan telepon adalah kecepatan melayani gangguan dirumah. Menurut data peluang gangguan pada layanan rumah bisa diperbaiki pada hari pengaduan adalah 0,8.
Untuk enam gangguan pertama yang dilaporkan pada suatu hari tertentu, tentukan peluang paling banyak 4 gangguan bisa diperbaiki pada hari yang sama
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 0,8 dan peluang gagal q = 1 – 0,8 = 0,2
Misalkan X adalah banyak gangguan bisa diperbaiki pada hari terima laporan, maka
09. Suatu paket soal ujian dengan 10 nomor soal pilihan ganda dimana setiap soal mengandung 5 obtion pilihan jawaban.
Misalkan seorang siswa memilih jawaban secara acak untuk setiap soal, maka berapakah peluang siswa tersebut akan gagal dalam ujian ?
(Anggap siswa tidak lulus jika jawaban benarnya paling banyak 5)
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 1/5 = 0,2 dan peluang gagal q = 1 – 0,2 = 0,8
Misalkan X adalah banyak jawaban benar yang diperoleh siswa, maka
10. Suatu pasangan pengantin baru bermaksud memiliki enam anak. Jika keinginan mereka tewujud, maka tentukan peluang lebih banyak anak lelaki daripada anak perempuan yang mereka miliki
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 1/2 dan peluang gagal q = 1 – (1/2) = 1/2
Misalkan X adalah banyaknya anak lelaki yang mereka miliki, maka
Jika variabel diskrit tersebut diperoleh dari suatu eksperimen acak, maka dianamakan variabel diskrit acak
Sebagai contoh, pelantunan tiga buah uang logam dimana setiap uang logam berkemungkinan muncul angka (A) atau gambar (G)
Kegiatan ini memiliki ruang sampel S = {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, GGG}, sehingga n(S) = 8
Misalkan X adalah variabel yang menunjukkan banyaknya muncul angka
Maka :
X = 0 : {GGG}, maka n(X = 0) = 1 sehingga P(X = 0) = 1/8
X = 1 : {AGG, GAG, GGA}, maka n(X = 1) = 3 sehingga P(X = 1) = 3/8
X = 2 : {GAA, AGA, AAG}, maka n(X = 2) = 3 sehingga P(X = 2) = 3/8
X = 3 : {AAA} n(X = 3) = 1, maka sehingga P(X = 3) = 1/8
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
Tabel distribusi probabilitas haruslah mempunyai nilai total 1. Artinya jumlah distribusi peluang munculnya angka pada pelantunan tiga buah uang logam haruslah 1.
Dari tabel distribusi probabilitas diatas dapat dibuat fungsi distribusi probabilitas, yakni
Dari uraian diatas disimpulkan bahwa Suatu fungsi F(X) dikatakan fungsi distribusi probabilitas jika memenuhi syarat sebagai berikut:
(1) X1 , X2 , X3 , …, dan Xn adalah kejadian yang saling lepas
(2) P(X1) + P(X2) + P(X3) + …+ P(Xn) = 1
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:
01. Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya genap.
Jawab
Misalkan X adalah variabel yang menunjukkan jumlah dua mata mata dadu yang menunjukkan angka genap, maka :
X = 2 : {(11)}, maka n(X = 2) = 1 sehingga P(X = 0) = 1/36
X = 4 : {(1,3),(3,1),(2,2)}, maka n(X = 4) = 3 sehingga P(X = 4) = 1/12
X = 6 : {(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}, maka n(X = 6) = 5 sehingga P(X = 6) = 5/36
X = 8 : {(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)}, maka n(X = 8) = 5 sehingga P(X = 8) = 5/36
X = 10: {(6,4),(4,6),(5,5)}, maka n(X = 10) = 3 sehingga P(X = 10) = 1/12
X = 12: {(6,6)}, maka n(X = 12) = 1 sehingga P(X = 12) = 1/36
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
02. Pada pelantunan dua buah dadu serentak satu kali, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang munculnya dua mata mata dadu yang jumlahnya lebih dari 8.
Jawab
Misalkan X adalah variabel yang menunjukkan jumlah dua mata mata dadu yang menunjukkan nilai lebih dari 8, maka :
Ruang sampel n(S) = 36
X = 9 : {(45),(5,4),(6,3),(3,6)}, maka n(X = 9) = 4 sehingga P(X = 0) = 1/9
X = 10 : {(6,4),(4,6),(5,5)}, maka n(X = 10) = 3 sehingga P(X = 10) = 1/12
X = 11 : {(6,5),(5,6)}, maka n(X = 11) = 2 sehingga P(X = 11) = 1/18
X = 12 : {(6,6)}, maka n(X = 12) = 1 sehingga P(X = 12) = 1/36
Dari data diatas diperoleh tabel distribusi probabilitas
Fungsi distribusi probabilitas, yakni
03. Sebuah kotak berisi 4 bola kuning, 2 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil tiga bola sekaligus dari dalam kotak tersebut, buatlah tabel dan fungsi distribusi peluang terambilnya bola putih.
Jawab
Misalkan X adalah variabel yang menunjukkan banyaknya terambil bola putih, maka
Eksperimen binomial adalah suatu eksperimen yang memberi hanya dua hasil yang mungkin, yakni “sukses” dan “gagal”. (ditemukan oleh James Bernoulli)
Variabel acak X adalah jumlah total sukses dalam n kali percobaan.
Jika p adalah peluang sukses dan q adalah peluang gagal dalam setiap kali percobaan, maka berlaku:
p + q = 1
Dalam eksperimen binomial dengan peluang sukses sebesar p dan peluang gagal sebesar q = 1 – p untuk setiap percobaan, maka peluang x sukses dari n percobaan ulang dirumuskan:
Bentuk P(X = x) diatas merupakan fungsi distribusi binomial
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
05. Sebuah eksperimen melantunkan dua dadu serentak 5 kali. Jika A adalah kejadian munculnya dua mata dadu yang jumlahnya habis dibagi tiga, maka tentukan peluang sukses 3 kali percobaan dalam eksperimen itu.
Jawab
Diketahui : n = 5
x = 3
maka A = {12, 21, 15, 51, 42, 24, 33, 36, 63, 45, 54, 66} n(A) = 12 dan n(S) = 36.
06. Suatu percobaan melantunkan 4 uang logam secara serentak. Jika percobaan itu diulangi sebanyak 5 kali, maka berapa peluang sukses munculnya tiga “gambar” sebanyak dua kali dalam percobaan itu ?
Jawab
Diketahui : n = 5 dan x = 2
maka A = {GGGA, GGAG, GAGG, AGGG} n(A) = 4 dan n(S) = 42 = 16
07. Sebuah tes terdiri dari 10 pertanyaan pilihan ganda dengan 4 pilihan jawaban. Sebagai suatu eksperimen, anda memilih jawaban secara acak tanpa membaca pertanyaannya. Berapa peluang anda menjawab dengan benar 6 nomor ?
Jawab
Diketahui : n = 10 dan x = 6
Dalam eksperimen binomial dengan n kali percobaan ulang dimungkinkan untuk mengetahui peluang sukses paling banyak r kali atau paling sedikit r kali, dimana r ≤ n, dengan menggunakan rumus :
P(X ≤ r) = P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = r)
dan
P(X ≥ r) = P(X = r) + P(X = r+1) + … + P(X = n)
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
08. Salah satu tugas layanan pelanggan dari suatu perusahaan telepon adalah kecepatan melayani gangguan dirumah. Menurut data peluang gangguan pada layanan rumah bisa diperbaiki pada hari pengaduan adalah 0,8.
Untuk enam gangguan pertama yang dilaporkan pada suatu hari tertentu, tentukan peluang paling banyak 4 gangguan bisa diperbaiki pada hari yang sama
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 0,8 dan peluang gagal q = 1 – 0,8 = 0,2
Misalkan X adalah banyak gangguan bisa diperbaiki pada hari terima laporan, maka
09. Suatu paket soal ujian dengan 10 nomor soal pilihan ganda dimana setiap soal mengandung 5 obtion pilihan jawaban.
Misalkan seorang siswa memilih jawaban secara acak untuk setiap soal, maka berapakah peluang siswa tersebut akan gagal dalam ujian ?
(Anggap siswa tidak lulus jika jawaban benarnya paling banyak 5)
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 1/5 = 0,2 dan peluang gagal q = 1 – 0,2 = 0,8
Misalkan X adalah banyak jawaban benar yang diperoleh siswa, maka
10. Suatu pasangan pengantin baru bermaksud memiliki enam anak. Jika keinginan mereka tewujud, maka tentukan peluang lebih banyak anak lelaki daripada anak perempuan yang mereka miliki
Jawab
Diketahui : Peluang sukses p = 1/2 dan peluang gagal q = 1 – (1/2) = 1/2
Misalkan X adalah banyaknya anak lelaki yang mereka miliki, maka
2 komentar:
Mohon ijin bergabung bapak, saya sangat bangga dengan bapak yang baik hati berbagi ilmu matematika,semoga bapak selalu sehat dan Barokallah,terima kasih.
AmiinyaAllah.
Posting Komentar