Persamaan kuadrat baru atau sering disingkat PKB merupakan suatu persamaan kuadrat yang dibentuk berdasarkan akar-akar yang ada kaitannya dengan akar-akar persamaan kuadrat lama. Untuk menyusun persamaan kuadrat baru kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
x2 – (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
- Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat lama (awal)
- Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat lama
- Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
- Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
- Susun persamaan kuadrat baru
Dengan menggunakan langkah-langkah di atas, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) secara sistematis namun membutuhkan waktu yang lebih lama tergantung kecepatan berhitung tiap orang. Oleh karena itu, untuk mempersingkat waktu perhitungan, artikel ini menyajikan kumpulan rumus cepat dalam menyusun persamaan kuadrat baru dengan karakteristik akar tertentu. Silahkan simak dan terapkan sendiri.
#1 PKB yang akar-akarnya nx1 dan nx2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kali akar-akar persamaan kuadrat awal, misalnya 2x1 dan 2x2, 3x1 dan 3x2, 5x1 dan 5x2 dan sebagainya dapat disusun secara mudah dengan menggunakan rumus khusus sebagai berikut.
a
|
x2
|
+
|
b
|
x
|
+
|
c
|
=
|
0
| ||
n2
|
n
|
ax2 + bnx + cn2 = 0 |
#2 PKB yang akar-akarnya 1/x1 dan 1/x2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dengan akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu 1/x1 dan 1/x2 dapat dibentuk secara singkat menggunakan rumus instan sebagai berikut.
cx2 + bx + a = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yang berbentuk ax2 + bx + c = 0
#3 PKB yang akar-akarnya −x1 dan −x2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya yaitu–x1 dan –x2 dapat disusun secara lebih cepat dengan menggunakan rumus khusus berikut ini.
ax2 − bx + c = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#4 PKB yang akar-akarnya x1 + n dan x2 + n
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat awal, misalnya x1 + 2 dan x2 + 2, x1 + 3 dan x2 + 3, x1 + 5 dan x2 + 5, dan sebagainya dapat disusun secara praktis dengan menggunakan rumus cepat berikut ini.
a(x – n)2 + b(x – n) + c = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat lama yang berbentuk ax2 + bx + c = 0
#5 PKB yang akar-akarnya x1 − n dan x2 − n
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat awal, misalnya x1 − 2 dan x2 − 2, x1 − 3 dan x2 − 3, x1− 5 dan x2 − 5, dan sebagainya dapat dibentuk secara lebih cepat dengan menggunakan rumus praktis berikut ini.
a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat lama yang berbentuk ax2 + bx + c = 0
#6 PKB yang akar-akarnya x12 dan x22
a2x2 – (b2 – 2ac)x + c2 = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat lama yang berbentuk ax2 + bx + c = 0
#7 PKB yang akar-akarnya x1/x2 dan x2/x1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu x1/x2 dan x2/x1 ternyata dapat disusun secara mudah dan praktis dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
acx2 – (b2 – 2ac)x + ac = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#8 PKB yang akar-akarnya x1 + x2 dan x1 . x2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya yaitu x1 + x2 dan x1 . x2 dapat disusun secara lebih mudah dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
a2x2 + (ab – ac)x – bc = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#9 PKB yang akar-akarnya x13 dan x23
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat lama yaitu x13 dan x23 dapat disusun secara mudah dan lebih cepat dengan menggunakan rumus khusus sebagai berikut.
a3x2 + (b3 – 3abc)x + c3 = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#10 PKB yang akar-akarnya x14 dan x24
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat empat dari akar-akar persamaan kuadrat lama yaitu x14 dan x24 dapat disusun secara mudah dengan menggunakan rumus praktis berikut ini.
a4x2 – (b4 – 4ab2c + 2a2c2)x + c4 = 0
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#11 PKB yang akar-akarnya x15 dan x25
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat lima dari akar-akar persamaan kuadrat lama yaitu x15 dan x25 dapat disusun secara mudah dengan menggunakan rumus praktis berikut ini.
a5x2 + (b5 – 5ab3c + 5a2bc2)x + c5 = 0 |
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#12 PKB yang akar-akarnya x12/x2 dan x22/x1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu x12/x2 dan x22/x1 ternyata dapat disusun secara mudah dan praktis dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
a2cx2 + (b3 – 3abc)x + ac2 = 0 |
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#13 PKB yang akar-akarnya x13/x2 dan x23/x1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitux13/x2 dan x23/x1 ternyata dapat disusun secara mudah dan praktis dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
a3cx2 – (b4 – 4ab2c + 2a2c2)x + ac3 = 0 |
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#14 PKB yang akar-akarnya x14/x2 dan x24/x1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu x14/x2 dan x24/x1 ternyata dapat disusun secara mudah dan praktis dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#15 PKB yang akar-akarnya x12.x2 dan x22.x1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya perkalian dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu x12.x2 dan x22.x1 ternyata dapat disusun secara mudah dan praktis dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
a3x2 + abcx + c3 = 0 |
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#16 PKB yang akar-akarnya x13.x2 dan x23.x1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya perkalian dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu x13.x2 dan x23.x1 ternyata dapat disusun secara mudah dan praktis dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
a4x2 – (b2 – 2ac)acx + c4 = 0 |
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
#17 PKB yang akar-akarnya x14.x2 dan x24.x1
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya perkalian dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu x14.x2 dan x24.x1 ternyata dapat disusun secara mudah dan praktis dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
|
Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
Contoh Soal dan Pembahasan
Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 3x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah x1 – 3 dan x2 – 3.
Jawab
Untuk menyusun persamaan kuadrat baru seperti pada contoh soal di atas, kita akan menggunakan dua cara yaitu dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar serta dengan menggunakan rumus khusus. Mari kita bahas satu persatu.
■ Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali akar
Persamaan kuadrat x2 – 3x + 5 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -3 dan c = 5. Pertama kita tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat lama sebagai berikut.
Jumlah Akar
⇔ x1 + x2 = -b/a
⇔ x1 + x2 = -(-3)/1
⇔ x1 + x2 = 3
Hasil kali Akar
⇔ x1 . x2 = c/a
⇔ x1 . x2 = 5/1
⇔ x1 . x2 = 5
Langkah selanjutnya, kita tentukan jumlah dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 yaitu sebagai berikut.
Jumlah Akar
⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = (x1 + x2) – 6
⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = 3 – 6
⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = -3
Hasil kali Akar
⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = (x1 . x2) – 3x1 – 3x2 + 32
⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = (x1 . x2) – 3(x1 + x2) + 9
⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = 5 – 3(3) + 9
⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = 5
Langkah terakhir kita masukkan nilai jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru ke dalam rumus umum menyusun PKB yaitu sebagai berikut.
⇔ x2 – (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇔ x2 – (-3)x + 5 = 0
⇔ x2 + 3x + 5 = 0
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah x2 + 3x + 5 = 0
■ Menggunakan Rumus Khusus
Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah x1 – 3 dan x2 – 3 sehingga akar-akar tersebut berbentuk x1 – n dan x2 – n. Oleh karena itu, kita gunakan rumus nomor #5 yaitu sebagai berikut.
a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
|
⇔ a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
⇔ 1(x + 3)2 + (-3)(x + 3) + 5 = 0
⇔ x2 + 6x + 9 – 3x – 9 + 5 = 0
⇔ x2 + 3x + 5 = 0
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah x2 + 3x + 5 = 0
Rangkuman
|
Bentuk |
Pola |
Tanda |
|
1 |
b |
+ |
|
2 |
b² - 2ac |
- |
|
3 |
b³ - 3abc |
+ |
|
4 |
b⁴ - 4ab²c + 2a²c² |
- |
|
5 |
b⁵ - 5ab³c + 5a²bc² |
+ |
|
6 |
b6 - 6ab4c + 9a2b2c2 – 2a3c3 |
- |
|
7 |
b7 - 7ab5c + 14a2b3c2 – 7a3bc3 |
+ |
|
8 |
b8 - 8ab6c + 20a2b4c2 – 16a3b2c3 + 2a4c4 |
- |
|
9 |
b9 - 9ab7c + 27a2b5c2 – 30a3b3c3 + 9a4bc4 |
+ |
|
10 |
b10 - 10ab8c + 35a2b6c2 – 50a3b4c3 + 25a4b2c4 - 2a5c5 |
- |
|
11 |
b11 - 11ab9c + 44a2b7c2 – 77a3b5c3 + 55a4b3c4 - 11a5bc5 |
+ |
Demikianlah artikel tentang kumpulan rumus cepat dalam menyusun persamaan kuadrat baru yang memiliki akar dengan karakteristik khusus beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.
0 komentar:
Posting Komentar