Mengapa Negatif dikali Negatif hasilnya Positif??

Ini bukan sekedar rumus, tetapi kenyataan yang bisa dibuktikan secara angka maupun sosial. Mengapa demikian?

Pasti Anda tahu bahwa dalam matematika kita mengenal operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian.

Operasi perkalian didefinisikan sebagai penjumlahan yang berulang.

a x b (dibaca: a dikali b) didefinisikan sebagai b + b + b + ... sebanyak a kali, misalnya 4x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20.

Bilangan positif dikali positif hasilnya tentu positif. Bilangan positif dikali bilangan negatif hasilnya negatif. Bilangan negatif dikali positif hasilnya negatif.

Anehnya, bilangan negatif dikali negatif hasilnya positif.

Tahukah Anda kenapa bilangan negatif dikali negatif hasilnya positif?

Penasaran?

Mau tahu alasannya?

Berikut alasannya:

Untuk mencari tahu alasannya maka kita harus mengetahui hukum komutatif dan distributif yang berlaku pada operasi perkalian.

Hukum komutatif:

a x b = b x a

Hukum distributif:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Kita akan buktikan terlebih dahulu positif dikali negatif hasilnya negatif.

a x -b = (-b) + (-b) + (-b) + ... sebanyak a kali.

Kita ambil contoh a = 4 dan b = 5.

4x (-5) = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = -20.

Jadi terbukti positif dikali negatif hasilnya negatif.

Bagaimana halnya dengan negatif dikali positif?

-c x d = d + d + d + ... sebanyak (-c) kali.

Karena bilangan yang digunakan untuk menyatakan jumlah atau banyaknya atau frekuensi pengulangan tidak ada yang negatif, maka dalam hal ini kita akan menggunakan hukum komutatif yang berlaku pada perkalian.

-c x d = d x -c = (-c) + (-c) + (-c) + ... sebanyak d kali.

Kita ambil contoh c = -3 dan d = 4.

-3 x 4 = 4 x (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12

Jadi terbukti pula negatif dikali positif hasilnya negatif.

Lalu bagaimana dengan permasalahan pokok negatif dikali negatif?

Kita akan memanfaatkan hukum distributif yang berlaku dalam perkalian.

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Jika a dan c bernilai negatif dan c = (-b), maka

-a x (b + -b) = (-a x b) + (-a x -b)

-a x 0 = -ab + (-a x -b)

0 = -ab + (-a x -b)

ab = (-a x -b)

(-a x -b) = ab

Untuk lebih mudahnya, kita ambil contoh a = -5, b = 6, dan c = -6

-5 x (6 + -6) = (-5 x 6) + (-5 x -6), jika posisinya dibalik menjadi

(-5 x 6) + (-5 x -6) = -5 x (6 + -6), kita ketahui negatif kali positif hasilnya negatif dan (6+ -6) = 6 - 6 = 0

(-30) + (-5 x -6) = -5 x (0)

(-30) + (-5 x -6) = 0

(-5 x -6) = 30

Jadi, terbukti bahwa -5 x -6 = 30 atau negatif dikali negatif hasilnya positif.

Sebenarnya secara sederhana dan mudah, dapat dibuktikan pula negatif dikali negatif hasilnya positif dengan menggunakan sifat negasi perkalian yakni:

"Minus satu (-1) dikali suatu bilangan (yang bukan nol) hasilnya sama dengan invers penjumlahan (balikan aditif) dari bilangan itu sendiri"

Invers penjumlahan suatu bilangan p adalah suatu bilangan yang jika ditambahkan dengan p hasilnya bilangan identitas penjumlahan atau sama dengan 0. Jadi invers penjumlahan bilangan p = -p

Berdasarkan sifat negasi perkalian:

-1 x p = -p.

Karena -p adalah invers penjumlahan dari bilangan p dan sebaliknya bilangan p adalah invers penjumlahan dari -p, maka:

 -1 x -p = p

Hal ini juga membuktikan bahwa negatif dikali negatif hasilnya positif.

Dengan cara yang lain dapat pula kita buktikan bahwa

1. Positif kali negatif = negatif [a(-b) = -(ab)]

2. Negatif kali positif = negatif [(-a)b = -(ab)]

3. Negatif kali negatif = positif [(-a)(-b) = ab]

dimana a dan b adalah bilangan real.

Bukti:

1. Untuk menunjukkan bahwa a(-b) = -(ab), kita harus mendemonstrasikan bahwa

ab + a(-b) = 0. Dengan menggunakan sifat distributif pada bilangan real, kita peroleh

a(b + (-b)) = a . 0 = 0, sehingga ab + a(-b) = 0

-(ab) + ab + a(-b) = -(ab) + 0 maka a(-b) = -(ab). Terbukti.

2. Dengan cara yang sama, Untuk menunjukkan bahwa (-a)b = -(ab), kita harus mendemonstrasikan bahwa ab + (-a)b = 0. Dengan menggunakan sifat distributif pada bilangan real, kita peroleh

(a + (-a))b = 0 . b = 0, sehingga (-a)b + ab = 0

(-a)b + ab + [-(ab)] = 0 + [-(ab)] maka (-a)b = -(ab). Terbukti.

3. (-a)(-b) = -(a(-b)) {dari poin (2)}

= -(-(ab)) {dari poin (1)}

= ab.

Kita ketahui bahwa -(-(ab)) + -(ab) = 0 [ini adalah definisi, 0 adalah elemen identitas]

Hal ini berimplikasi -(-(ab)) = ab.

Demikianlah pembahasan tentang (-) x (-) = (+), semoga bermanfaat

Dalam kehidupan sosio-kultural masyarakat, kita dapat padankan sbb:

Jika positif adalah sesuatu yang benar atau merupakan suatu kebenaran dan negatif adalah sesuatu yang salah atau merupakan suatu kesalahan, maka

Mengatakan sesuatu yang benar adalah benar, merupakan suatu kebenaran

Mengatakan sesuatu yang benar adalah salah, merupakan suatu kesalahan

Mengatakan sesuatu yang salah adalah benar, merupakan suatu kesalahan

Mengatakan sesuatu yang salah adalah salah, merupakan suatu kebenaran

Masih penasaran?

Semoga dengan penjelasan panjang lebar di atas Anda sekarang sudah tidak penasaran lagi.