Menghitung luas Poligon tertutup dengan rumus koordinat

Dalam kasus untuk menghitung luas secara teliti maka dapat dilakukan dengan menggunakan nilai koordinat (x, y).

Perhatikan segitiga di samping!
Terdapat tiga buah titik pada segitiga tersebut dengan koordinat

(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)

Untuk menghitung luasnya adalah dengan menghitung luas persegi panjang di sekeliling segitiga.

Perhatikan Pembahasan berikut !

Luas Persegi Panjang = p × l = (x₃ – x₁) × (y₂ – y₃)

Luas Segitiga Hijau = ½ × (x₃ – x₁) ×  (y₁ – y₃)
Luas Segitiga Biru = ½ × (x₂ – x₁) ×  (y₂ – y₁)
Luas Segitiga Merah Muda = ½ × (x₃ – x₂) ×  (y₂ – y₃)

Jadi, Luas Segitiga Putih = Luas Persegi Panjang - Luas Segitiga Hijau - Luas Segitiga Biru - Luas Segitiga Merah Muda

Luas Segitiga Putih = (x₃ – x₁) × (y₂ – y₃) - ½ × (x₃ – x₁) ×  (y₁ – y₃) - ½ × (x₂ – x₁) ×  (y₂ – y₁) - ½ × (x₃ – x₂) ×  (y₂ – y₃)

= x₃y₂ – x₃y₃ – x₁y₂ + x₁y₃ – ½ (x₃y₁ – x₃y₃ – x₁y₁ + x₁y₃) – ½ (x₂y₂ – x₂y₁ – x₁y₂ + x₁y₁) – ½ (x₃y₂ – x₃y₃ – x₂y₂ + x₂y₃)

= x₃y₂ – x₃y₃ – x₁y₂ + x₁y₃ – ½x₃y₁ + ½x₃y₃ + ½x₁y₁ – ½x₁y₃ – ½x₂y₂ + ½x₂y₁ + ½x₁y₂ – ½x₁y₁ – ½x₃y₂ + ½x₃y₃ + ½x₂y₂ – ½x₂y₃ 

= x₃y₂ – x₃y₃ – x₁y₂ + x₁y₃ – ½x₃y₁ + ½x₃y₃ + ½x₁y₁ – ½x₁y₃ – ½x₂y₂ + ½x₂y₁ + ½x₁y₂ – ½x₁y₁ – ½x₃y₂ + ½x₃y₃ + ½x₂y₂ – ½x₂y₃ 

= ½x₃y₂ – ½x₂y₃ + ½x₁y₃ – ½x₃y₁ + ½x₂y₁ – ½x₁y₂ 

= ½(x₃y₂ – x₂y₃ + x₁y₃ – x₃y₁ + x₂y₁ – x₁y₂) 

= ½(x₃y₂ – x₂y₃ + x₁y₃ – x₃y₁ + x₂y₁ – x₁y₂) 



Jadi Luasnya adalah

untuk mempermudah, kita susun seperti berikut :

CONTOH SOAL :

1. Tentukan luas segitiga dengan koordinat A(3,4), B(9,6) dan C(7,1)

Luasnya adalah ½ |(3 × 6 + 9 × 1 + 7 × 4 – 4 × 9 – 6 × 7 – 1 × 3)|

                          

½ |(18 + 9 + 28 – 36 – 42 – 3)| = ½ |(55 – 81)| = ½ (26) = 13

Jadi, Luas segitiga tersebut adalah 13 satuan luas

Bagaimana dengan hasil luasnya jika titiknya ditukar,,

Luasnya adalah ½ |(3 × 1 + 7 × 6 + 9 × 4 – 4 × 7 – 1 × 9 – 6 × 3)|

½ |(3 + 42 + 36 – 28 – 9 – 18)| = ½ |(81 – 55)| = ½ (26) = 13

Jadi, Luas segitiga tersebut tetap sama yaitu 13 satuan luas

2. Tentukan luas poligon dengan koordinat P(-2,5), Q(4,6), R(5,3) dan S(2,-1)

Luasnya adalah ½ |((–2) × 6 + 4 × 3 + 5 × (–1) + 2 × 5 – 5 × 4 – 6 × 5 – 3 × 2 – (–1) × (–2))|

= ½ |((–12) + 12 + (–5) + 10 – 20 – 30 – 6 – 2)|

= ½ |5 – 58|

= ½ (53)

= 26,5

Jadi, luas poligon tersebut adalah 26,5 satuan luas


SEMOGA BERMANFAAT